2019-2020学年数学人教A版选修1-2作业与测评：2.2.2 反证法 Word版含解析.pdf

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1、课时作业7反证法知识点一反证法的概念1.反证法是()A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法答案A解析由反证法的定义可知A正确，故选A.2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案C解析根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中应把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用.知识点二反证法的步骤3.有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x

2、”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2，求证p＋q≤2”时的反设为__________，得出的矛盾为__________．答案p＋q>2(q－1)2<0解析假设p＋q>2，则p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<

3、0，∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2.知识点三用反证法证明命题5.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方，得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列.易错点反设错误或不全面致错6.已知x，y∈R且x2＋y2＝0，求证：x，y全为零．易错分析本题中易出现反设错误而致错，x，y全为零的否定应为x，y不全为零，即至少有一个不是零．证明假设x，y不全为零

4、，则有以下三种可能：(1)x＝0，y≠0，则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾；(2)x≠0，y＝0，则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾；(3)x≠0，y≠0，则x2＋y2>0，与x2＋y2＝0矛盾．故假设不成立，则x，y全为零．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)()

5、A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案D解析“唯一”的否定上“至少两解或无解”．3．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析必要性显然成立．充分性：若P·Q·R>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P<0，Q<0，R>0.∵P<0，Q<0，即a＋b

6、的余弦值分别等于△ABC的三个内111222角的正弦值，则()A．△ABC和△ABC都是锐角三角形111222B．△ABC和△ABC都是钝角三角形111222C．△ABC是钝角三角形，△ABC是锐角三角形111222D．△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形111222答案D解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△ABC的三个内111角的余弦值均大于0.因此△ABC是锐角三角形．111假设△ABC也是锐角三角形，并设cosA＝sinA，则cosA＝222121cos(90°－∠A)，2所以∠A＝90°－∠A.12同理设cosB＝sinB，cosC＝sinC，则

7、有∠B＝90°－∠B，∠C1212121＝90°－∠C.2又∠A＋∠B＋∠C＝180°，111∴(90°－∠A)＋(90°－∠B)＋(90°－∠C)＝180°，即∠A＋∠B22222＋∠C＝90°.2这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题5．命题“a，b∈R，若

8、a－1

9、＋

10、b－1

11、＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．答案a≠1或b≠1解析“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：