(1)直线和平面垂直与平面和平面垂直(2课时)(1).ppt

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1、直线和平面垂直与平面和平面垂直【知识梳理】1．直线与平面垂直的判定类别语言表述应用判定如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直证直线和平面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面证直线和平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面证直线和平面垂直【知识梳理】2．直线与平面垂直的性质baba类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直ab证两条直线垂直如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行

2、ab证两条直线平行【知识梳理】3．两个平面垂直的判定和性质BaOAaBaOAla类语言表述图示字母表示应用判定根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角．AOB是二面角a的平面角，且AOB=90，则证两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角．，AOB是二面角a的平面角，则AOB=90证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．a证直线和平面垂直【知识梳理】4．三垂线

3、定理和三垂线定理的逆定理名称语言表述字母表示应用三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.①证两直线垂直②作点线距③作二面角的平面角三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.同上例1已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)(1)求证：B1D⊥BC1；(2)求证：B1D⊥面ACD1；(3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DO∶OB1＝1∶2.考点一直线与直线垂直O【思路导引】证明线线垂直，可利用线面垂直的性质，而证明线面垂直，可利用线面垂直的判定．【证

4、明】(1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴DC⊥面BCC1B，∴DC⊥BC1，∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C.又∵DC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面B1CD，∴BC1⊥B1D.(2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.(3)设AC与BD的交点为O′，则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1，则O′D1与B1D的交点即为O，【方法探究】证明线线垂直的常用方法有：(1)利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．(2)利用

5、线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线．(3)利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题．2．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中正确的是________．解析：对于命题①，取BC的中点E.如图(1)所示，连结AE、DE，则BC⊥面AED，∴BC⊥AD，对于命题④，过A向平面BCD做垂线AO(如图(2)所示)．连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF

6、⊥BD.∴O为△BCD垂心，连DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，∴BC⊥AD.答案：①④例2如图所示，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别为△ABC和△PBC的垂心．求证：OQ⊥平面PBC.【思路导引】此题关键是在平面PBC内找出两条相交直线与OQ垂直．考点二直线与平面垂直【证明】如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE，∵O为△ABC的垂心，∴AE⊥BC.∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AE＝A，∴BC⊥面PAE.又BC⊂面PBC，∴面PBC⊥面PAE，∵PE⊂面PAE，∴BC⊥PE，而Q为△PBC的垂心，∴Q∈PE

7、，即OQ⊂面PAE，∴BC⊥OQ.连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连FH.∵O为△ABC的垂心，∴BF⊥AC.又∵PA⊥BF，AC⊥BF，PA∩AC＝A，∴BF⊥面PAC.而PC⊂面PAC，∴BF⊥PC，又∵BH⊥PC，BF∩BH＝B，∴PC⊥面BFH，而OQ⊂面BFH，∴PC⊥OQ，又∵PC⊥OQ，BC⊥OQ，PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.【方法探究】欲证OQ⊥平面PBC，只要证明OQ与平面PBC中两相交直线垂直，因为PA⊥平面ABC，又因为O、Q均为三角形的垂心，因此可得到一系列的线线、线面垂直关系．而线线垂直、线面的垂直关系又可相互

8、转化，即可