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时间:2020-08-22
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1、平面向量数量积的坐标表示1、向量加法三角形法则a+b=(x1+x2,y1+y2)2、向量减法三角形法则a–b=(x1–x2,y1–y2)3、实数与向量的积ma=(mx1,my1)复习amaa-babaa+bb平面向量数量积的坐标表示中在直角坐标系中,已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a与b的坐标表示a·b呢?设x轴上的单位向量i,y轴上的单位向量jii=
2、i
3、2=1,则jj=
4、j
5、2=1ij=ji=0=x1x2+y1y2.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1
6、x2i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j·jyA(x1,y1)aB(x2,y2)bOijx例1、设a=(5,7),b=(6,4),求a·b即是平面内两点间的距离公式2、设a=AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则1、设a=(x,y),则或3、设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则结论:两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和x1x2+y1y2a·b=例2、已知A(1、2),B(2,3),C(2,5),求证ΔABC是直角三角形证明:∵AB=(21,32)=(1,1)AC=(21,52)=(3,3)∴ABAC=1╳(
7、3)+1╳3=0∴AB⊥AC∴ΔABC是直角三角形ABCOxy例3、已知正方形OABC的边长为1,点D、E分别为AB、BC的中点,求∠DOE的值.故因所以解:则由已知条件,可得和所在直线为坐标轴建立以直角坐标系,如图所示.例4已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求∠DAB的大小.(1)证明:xABCDy∴ABCD是直角梯形.又∵AB≠DC,∵AB=2DC,∴AB//DC.DC=(4–3,4–5)=(1,-1),BC=(4–1,4–1)=(3,3).AB=(1–(
8、-1),1–3)=(2,-2),∵AB·BC=2×3+(-2)×3=0,∴AB⊥BC.(2)解:AD=(3–(-1),5–3)=(4,2)AD·AB=4×2+2×(-2)=4,xABCDy证明:例5 M是∆OAB中AB边上的中点,且
9、OA
10、=
11、OB
12、,利用向量证明:OM⊥AB.设OA=a,OB=b,AMBOab∵
13、OA
14、=
15、OB
16、,∴
17、a
18、=
19、b
20、.∴OM⊥AB.∴OM·AB=(a+b)(b–a)=(b2–a2)=0,1212则AB=b–a,OM=(a+b).12小结1、数量积的坐标表示2、垂直的充要条件3、平面内的两点间距离
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