资源描述：
《近世代数考题整理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、二、(45分)单项选择题和填空题的知识点:1.任何有限群G的子群H的阶数是G阶数的因子2.任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群3.群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。P31-32第一定义：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1)G对于这个乘法来说是闭的(2)结合律成立a(bc)=(ab)c，对于G的任意三个元a,b,c都对(3)对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b都在G里有解第二定义：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1)G对于这个乘法来说是闭的(2)结合律成
2、立a(bc)=(ab)c，对于G的任意三个元a,b,c都对(3)G里至少存在一个左单位元e，能让ea=a，对于G的任何元a都成立(4)对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元a-1，能让a-1a=e4.什么是一个群G的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，也说G是由a所生成，并且用符号G=(a)来表示，a叫做G的一个生成元P631.什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。一个集合A的代数运算o适合结合律，对于A的任意三个元a,b,c来说，都有（aob
3、）oc=ao（boc）2.已知群G的元素a的阶是n,那么的阶是。3.环、整环、除环、域的定义。环：一个集合R叫做环(1)R是一个加群，R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群(2)R对于另一个乘法的代数运算来说是闭的(3)这个乘法适合结合律：a(bc)=(ab)c，不管a,b,c是R的哪三个元(4)两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，不管a,b,c是R的哪三个元整环：一个环R叫做整环，假如(1)乘法适合交换律ab=ba(2)R有单位元1：1a=a1=a(3)R没有零因子：ab=0→a=0或b=0a,b可以是R的任意元，整数环
4、是整环除环：一个环R叫做一个除环(1)R至少包含一个不等于零的元(2)R有一个单位元(3)R的每一个不等于零的元有一个逆元域：一个交换除环叫做一个域(1)一个除环没有零因子。(2)一个除环R的不等于零的元对于乘法来说作成一个群R*1.什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？单位元：一个环R的一个元e叫做一个单位元。唯一的单位元逆元：一个有单位元环的一个元叫做元a的一个逆元唯一的逆元2.什么叫做一个群的左、右陪集，有限群的左、右陪集的个数是什么关系？群的左陪集：a~’b，当而且只当b^(-1)a∈H，由这个等价关系~’所决定的类叫做子群
5、H的左陪集，用符号aH表示；群的右陪集：右陪集：a~b，当而且只当ab^(-1)∈H，由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集，用符号Ha表示；有限群的左右陪集的个数相等3.环无零因子是什么意思？一个没有零因子的环R，里面所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的4.无零因子的特征是什么意思？一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的特征1.有限群G的任何元素的阶数都是G阶数的因子。2.集合的直积是怎么定义的。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成
6、的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）
7、x∈A且y∈B}。3.循环群的子群是循环群吗？是4.一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?不可以三、问答题知识点（25分）1.正规子群,举例说明一个群G的一个子群H叫做一个不变子群（正规子群），假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN(p70)例子：一个任意群G的子群G和e总是不变子群，因为对于任意G的元a来说，Ga=aG=G,ea=ae=a2.循环群,举例说明若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说G是由元a所生成的。并且用符号G（a）来表示。A叫做G
8、的一个生成元。举例:任意素数阶数的群是循环群。3.有限域,举例说明一个只含有限个元素的域叫做一个有限域。例子：特征是p的素域就是一个有限域。5.群的左、右陪集，举例说明假设一个群G和它的一个子群H，规定G的元a，b中间关系~：右陪集：a~b，当而且只当ab^(-1)∈H，由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集，用符号Ha表示；左陪集：a~’b，当而且只当b^(-1)a∈H，由这个等价关系~’所决定的类叫做子群H的左陪集，用符号aH表示；例如：G={（1），（12），（13），（23），（132），（123）}；H={（1），（12）}；子群H把群G分成了H
9、（1）={（1），（12
