资源描述：
《微专题15-导数的单调性、极值点、极值、最值-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、微专题15函数的单调性、极值点、极值、最值——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、数学抽象的学科核心素养.考点一利用导数研究函数的单调性【必备知识】1、函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内(1)如果，那么函数在单调递增；(2)如果，那么函
2、数在单调递减；(3)如果，那么函数在上是常数函数.2、由导数求单调区间的步骤(1)求定义域.(2)求导数.(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.3、两个条件(1)是函数为增函数的充分不必要条件.(2)是函数为减函数的必要不充分条件.4、三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【典型例题】【例1】已知函数,当时，讨论函数的单调性.【解析】函数的定义域为，则，令解得，当即a
3、=1时，恒成立，则的单调递增区间为，当即a>1时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当即01时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【方法归纳提炼素养】——数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算.利用导数讨论(证明)函数在内单调性的步骤(1)求.(2)确认在内的符号.(3)得出结论:时为增函数,时为减函数.注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类的标准（i）按导函数是否有零点分大类；（ii）在大类中再按导函数零点
4、的大小比较分小类；（iii）在小类中再按零点是否在定义域中分类.【类比训练1】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）略.【解析】（1），令，，则，则在上单调递增，①.若，则，则，则在上单调递增；②.若，则，则，则在上单调递减；③.若，则，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数，使得，当时，，则，则在上单调递减，当时，，则，则在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，存在唯一实数，使得，在上单调递减，在上单调递增.【类比训练2】已知函数.（1）若m=1，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数在
5、上的单调性.【解析】（1）若m=1，则，，所以，所以切线的斜率为0，所以切线方程为.（2）因为，令，是过点（0,1）的一次函数，①当时，在上，，所以函数在上单调递增.②当时，在上是减函数，由的图像可知，（i）当，即时，，所以函数在上单调递增；（ii）第，即时，在上，函数在上单调递增，在上，在上单调递减；（iii）第，即时，，函数在上单调递减.考点二利用导数求函数的极值（点）【必备知识】1、函数的极值与导数若函数在点处的函数值比它在附近的其他值都小，，并且在的左侧，在的右侧，那么点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.若函数在点
6、处的函数值比它在附近的其他值都大，，并且在的左侧，在的右侧，那么点叫做函数的极大值点，叫做函数的极小值.注：极值点一点是方程的根；但方程的根不一定是函数的极值点。2、求函数的极值的方法步骤（1）求函数的定义域；（2）求导函数，并分解因式（3）解方程的根；（4）列表判断在各极值点左、右两侧导函数的符号及函数的单调性；（5）下结论，写出极值（点）.【典型例题】【例2】已知（1）令，求证：有唯一的极值点；（2）若点A为函数上的任意一点，点B为函数上的任意一点，求A,B两点之间距离的最小值．【解析】（1）证明：由题意知，所以，由单调递
7、增，在上单调递减，所以在上为单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以有唯一的极值点．（2）解：由，则在点处的切线为，又，则在点处的切线为，由于与互为反函数，即函数图象关于对称，如图，故而两点间的距离即为与之间的距离，所以两点间的距离的最小值为．【方法归纳提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是逻辑推理.利用导数研究函数极值的一般流程【类比训练1】已知函数.(1)若函数在和处取得极值,求的值;(2)在(1)的条件下,当时,恒成立,求的取值范围.【解析】(1)∵,∴,又函数在和处取得
8、极值,∴和是方程的两根,∴,解得,经检验得符合题意,∴.(2)由(1)得,∴当或时,,单调递增,当时,,单调递减,,∴,∵当时,恒成立,∴,解得,∴实数的取值范围为.【类比训练2】若函数有极值,则的取值范围是 . 【解析】由题意得，若函数有极值,则一元二次方程有两个不
