常微分方程总复习.doc

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1、常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。变量可分离方程：形如或的方程称为变量可分离方程。齐次微分方程：形如的方程，称

2、为齐次微分方程。线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是如果,即称为一阶线性齐次方程。如果不恒为零，则称为一阶线性非齐次方程。伯努利（Bernoulli）方程：形如()的方程，称为伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一阶方程(1.1)的左端恰好是一个二元函数的全微分，即(1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式(1.2)的原函数。积分因子：假如存在这样的连续可微函数，使方程成为全微分方程，我们就把称为方程(1.1)的一个积分因子。二、主要定理定理1.1假如是微分式(1.2)的一个原函数，则

3、全微分方程（1.1）的通积分为，其中C为任意常数。定理1.2如果方程(1.1)中的在矩形区域上连续可微，则方程(1.1)是全微分方程的充要条件是：在R上有三、基本解法每种解法所对应的可积类型可归纳如下：对于导数已解出的一阶方程，有1．分离变量法：（1）显式变量可分离方程为：；当时，通过积分求出通解。（2）微分形式变量可分离方程为：；当时，通过积分求出通解。（3）一阶齐次微分方程为：；令，代入方程得，当时，分离变量并积分，得，即，用回代，得通解.2．常数变易法：（1）一阶线性非齐次微分方程为：；用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：。（2）伯努利方程为：，两端除以，得

4、；令，代入后得到以z为未知函数的线性方程，在求通解。3．积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。（1）全微分方程（或恰当方程）为：；若二元函数满足：，则上式的原函数为：.（2）如果存在连续可微函数，使方程成为全微分方程，则称积分因子。对于导数未解出的一阶方程有4．参数法：（1）类型Ⅰ若参数形式，则参数形式通解为：；或参数形式，则参数形式通解为： （2）类型Ⅱ若参数形式，则参数形式解为：或参数形式，则参数形式解为：对于高阶方程有降阶法：第一种可降阶的高阶方程；第二种可降阶的高阶方程；假如方程的左端恰为某一函数对x的导数，则称该方程为恰当导数方程。例题分析例1填空题（

5、1）方程所有常数解是　　　　．解：将其化为或形式，然后令方程右端的或，求出常数解，再代入方程验算，可以得到答案。应该填写：（2）方程的所有常数解是　　　　．解：应该填写：，（3）方程的所有常数解是．解：应该填写：，（4）一阶常微分方程的一个特解的图像是　　　　维空间上的一条曲线．解：应该填写：2求下列方程的通解或通积分：例2解：方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为：原方程通解为：例3解：齐次方程的通解为：令非齐次方程的特解为：代入原方程，确定出原方程的通解为：+例4解：因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即例5解：原方程是克来洛方程，通解为：

6、例6解：原方程是恰当导数方程，可写成：即分离变量解此方程，通积分为：例7解：令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为例8解：积分因子为：，原方程的通积分为即第2章基本定理一、主要概念延展解、不可延展解：设是初值问题(2.1)在区间上的一个解，如果(2.1)还有一个在区间上的解，且满足(1)；(2)当；则称解是可延展的，并称是在I2上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解，则称是初值问题(2.1)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I1和Ｉ2可以是开的也可以是闭的.奇解：如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性

7、都被破坏，则称此解为微分方程的奇解.奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.包络线：设给定单参数曲线族其中C为参数，Φ对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络.二、主要定理定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：则初值问题(2.1)在区间上存在唯一解：其中．