常微分方程总复习

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1、常微分方程课程总复习第一章绪论第一章的主要内容是建立方程和初始条件，并介绍整个课程中所使用的主要概念。以下几点是对第一章内容的总体要求。*一．对于通过物理过程而建立微分方程，本课程不作太高的要求，了解和初步掌握几个方程及初始条件建立过程的物理模型即可。*二.对于利用平面曲线的分析性质（曲线yfx()的切线的斜率是导数yfx()）建立简单的曲线所满足的微分方程，则是要求初步掌握的。一些具体的例题可见作业中的相应部分。！三.对于微分方程的一些基本的概念则要求熟练掌握，因为这些是后面求解方程所必须的。要求熟练掌握的概念有微

2、分方程的阶数；微分方程的解的概念和解的验证；微分方程组的解的概念和解的验证；微分方程的通解及特解；判断一个微分方程是线性的还是非线性的；判断一个线性微分方程是齐(次)的还是非齐(次)的；判断一个线性微分方程是常系数的还是变系数的.至于一阶方程的解的几何意义，包括积分曲线，方向场，等斜线等则作为了解即可。本章重点和注意事项：1．！关于微分方程的概念，主要放在概念性题目（例如选择题）中考查。2．*利用平面曲线的分析性质建立简单的常微分方程，通常放在简答性题目（例如填空题）中考查。3．！验证方程的解通常出现在概念性的题目

3、中。！典型例题：下列四个微分方程中,为四阶线性微分方程的有()个.43343dyxdydydy2(1)xy0(2)sinyx42343dx1xdxdxdx4dy24dx4dyxxdy2dy(3)eye(4)exycosxx24dxdxdxA.1B.2C.3D.4（见模拟试题）1nn1dydydy2！典型例题：微分方程2(n1)nxyln(1x)是().nn1dxdxdxA.n阶常系数非线性常微分方程;B.n阶变系数非齐线性常微分方程;C.n阶变系数非线性常微分方程;D.

4、n阶常系数非齐线性常微分方程.2dy2！典型例题：微分方程(x1)y的一个解是().dx11A.yx1B.yx1C.yD.yxx（见模拟试题）*典型例题：(见第17页:9.(1))曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为.*2典型例题：(见第17页:9.(3))曲线上任意一点的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于常数a.*典型例题：平面上过点(4,4)的曲线为yf(x),该曲线上任一点处的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于2,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为().*典型例题：平面上过点(4

5、,4)的曲线为yf(x),该曲线上任一点处的切线夹在两个坐标轴之间的部分为定长l,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为().*典型例题：平面上过点(2011,1210)的曲线为yf(x),该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为,则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为yxtan(y,y(2011)1210).xytan第二章一阶微分方程的初等解法第二章的主要内容是求解几类主要的一阶微分方程，这里总结主要的解法：一．变量分离方程：dyf(x)(y).dxdy求解方法：先进行变量分离：

6、f(x)dx，再在两边积分即得通解：(y)dyf(x)dxc.(y)注意：在常微分方程中所遇到的不定积分和定积分是数学分析中所学过的公式中较为简单的形式。但仍要求熟练掌握：基本积分表中的积分公式，换元积分法，分部积分法等基本的积分方法。22y3x2dye2dy2典型例题：ydx(x1)dy0(作业)；(作业)；xy.dxydx！注意：用分离变量法求解可分离变量的一阶常微分方程，是常微分方程这门课中最基本的解题方法。正因为方法基本，在考试中不会直接出现这类题目。分离变量法常常出现在解其他类型的微分方程的

7、中间步骤中。二．*可化为变量分离方程的方程-----齐次方程dyyg.dxxydydu求解方法：作变量变换u,则xu，方程可以化为变量分离方程xdxdxdug(u)u.dxx其它形式的可化为变量分离方程的方程的求解方法则不做统一的要求,但要求掌握下面形式的方程如何化为齐次方程：dyxydyydyyg,或g或g4.dxxydxxydxx2xyydy典型例题：给出将方程f4化为可分离变量型方程的变换.24xyxdx三．！一阶线性方程有形如下

8、（PxQx(),()是某区间上的连续函数）dyP(x)yQ(x).dx求解方法：用常数变易法来求解,也可以直接利用公式:（参见教材34页（2.32）式）Pxdx()Pxdx()yeQxe()dxc.（2.32）ds1！典型例题：scostsin2t(第