常微分方程期末复习

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1、1.求下列方程的通解。.解：方程可化为　　　　令，得　　　　由一阶线性方程的求解公式，得　　　　所以原方程为：＝2.求下列方程的通解。.解：设，则有，从而　，故方程的解为，另外也是方程的解.3.求方程通过的第三次近似解.解：　　　　　　　　　　　　4.求解下列常系数线性方程。解：对应的特征方程为：，.解得　　　　所以方程的通解为：5.求解下列常系数线性方程。解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为6.试求下

2、列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：解：解得　所以奇点为（　经变换，　　　　方程组化为　因为又　所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。7.设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程　的基解矩阵，.且都满足初始条件，所以即命题得证。8.求方程的通解解：积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程：两边积分得：得：因此方程的通解为：9.求方程的通解解：令则得：那么.因

3、此方程的通解为：10.求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计解：，，解的存在区间为即令又误差估计为：11.求方程的通解解：.是方程的特征值，设得：则得：.因此方程的通解为：12.试求方程组的解解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：13.试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性解：（1，3）是奇点令，那么由可得：因此（1，3）是稳定中心14.证明题：如果是满足初始条件的解，那么证明：由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以即命题得证。15.求下列方程的通解解：因为

4、，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为17.若试求方程组的解并求expAt解：解得此时k=1由公式expAt=得18.求下列方程的通解解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解19.求方程经过（0，0）的第三次近似解

5、解：20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。21.证明题：阶齐线性方程一定存在个线性无关解证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。22.求解方程：=解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2

6、)dy=0解：，令z=x+y则所以–z+3ln

7、z+1

8、=x+，ln=x+z+.即24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解解：设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，是通过点（0，0）的一个解；又由解得，

9、y

10、=所以，通过点（0，0）的一切解为及

11、y

12、=25.求解常系数线性方程：解：(1)齐次方程的通解为x=(2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是通解为x=+26.试求方程

13、组的一个基解矩阵，并计算解：det()=所以，设对应的特征向量为由取所以，=27.试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故奇点为原点（0，0）又由det(A-E)=得所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数28.试证：如果满足初始条件的解，那么证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以，C==代入（1）得=即命题得证。29.求解方程解：因为　　又因为　　所以方程有积分因子：u(x)

14、=方程两边同乘以得：［也即方程的解为　．30.求解方程解：令，，则　　即　　从而　　又　　　　＝　　故原方程的通解为　　　　　t为参数31.求解方程解：齐线性方程的特征方程为　　故齐线性方程的一个基本解组为，，　　因为不是特征方程的特征根　　所以原方有形如＝的特解　　将＝代入原方程，比较t的同次幂系数得：　　　　故有解之得：，　　所以原方程的解为：　　　32.求方程经过（0，0）的第三次近似解.解：　　.　　　　　　　　　　　＝33.试求：的基解矩阵解：记A=,又得，