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1、一、应用题1.解:（1）方法一：设二次函数的解析式为则∴……3分方法二：∵图像过点O(0,0),A（4，0），∴设,又B()在曲线上,∴,∴OAMPQCDB/BD1C1图12∴……………………………………3分（2）∵M是OA的中点,OA=4,∴MA=2,若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,∴P的横坐标为1,Q的横坐标为3.……………………………………5分∴P的坐标为(1,,Q的横坐标为(3,.而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形………6分（3）设存在这样的C点.设C、D的
2、坐标分别为∵二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A,∴曲线OB′A的解析式为……………………………………7分若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,∴△CMA的面积是△MDA面积的3倍,∴，∴,即,∴……………①…………………………8分过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,∴△MD1D∽△MC1C,∴,∴即………………②…………………………9分将②代入①得:,代入二次函数的解析式得故C的坐标为,或.………………………10分2.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，)，∴解
3、得a=，b=－4，c=，∴y=x2－4x+；(2)S=2S△EOB=2×OB·=5×(－x2+4x－)=－x2+20x－，S=－(x－3)2+，∴当x=3，面积S的最大值为；(3)要使平行四边形OEBF为正方形，则OB与EF相等且互相垂直平分，∴当x=2.5，y=×－10+=－2.5，∴E(2.5，－2.5)、F(2.5，2.5)．3.解：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析
4、式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，
5、S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2
6、时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）
7、∴m=1；③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．4.解：(1）由已知得，，，∴，解得，∴.（2）∵，，∴.∵，即，∴.当点P运动至A处，此时P、D重合.①当PD在点A左侧时，，则，解得，.②当PD在点A右侧时，，则，解得，，不合题意，舍去.综上，，或.（3）∵，∴当或时，△PAD是直角三角形.①若，则A
8、P∥x轴，∴，即，解得，，∴；②若，AP⊥AB.又直线AP：，由，解得，，∴.综上，或.5.解：(1)由题意得解得，所以二次函数的解析式为：(2)设直线AC为y=mx＋n∵A(1，4)，C（0
