二次函数与面积计算问题

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1、二次函数中的面积计算问题例1:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，S△AOC=______________S△BOC=_______43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S△COP=_______S△PAB=_______43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S△PCB=_______(3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S△ACP=_______EFFDE在平

2、面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值。（2004绍兴中考题）MxyABCO-13二次函数中面积问题常见解决方法：一、运用二、运用四、运用分割三、运用相似BC铅垂高水平宽ha图2AxCOyABD11图1例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B。（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△

3、CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。一、运用xCOyABD11图2P（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为hAxyBO练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的

4、坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．AxyBO解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．M代入坐标易得所求抛物线的解析式为y＝x2＋x．C（3）存在．直线AB的解析式为y＝x＋x＝－1代入直线AB的解析式∴点C的坐标为(－1，)P当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为（2）设经过A

5、、O、B三点的抛物线的解析式为2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；PQOBACyxP（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．QOBACyxPABMPONxyx＝my＝x3．如图，已知抛物

6、线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4。（1）求此抛物线的解析式。（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜＋1）与抛物线交于点M，（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。抛物线的解析式为y＝x2－2x－4MN＝MP＋PN＝－m2＋3m＋4当m＝1.5时，S有最大值。如图，二次函数图象与轴x交于A,B

7、两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M，为直角三角形,图象的对称轴为直线，P点是抛物线上位于A、C两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（）C（西湖区2011学年第一学期期末测试）P-3-13QPQ例2.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，

8、求△PAB的面积；（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．-3BAxyO2-1-112345-21345二.运用-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)D（0，4）代入上式（2）S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA＝6（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）∴y＝±2．EC练习1．已知二