由递推公式求通项的常用方法和技巧.doc

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1、课外拓展阅读由递推公式求通项的常用方法和技巧递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式实行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．类型1an＋1＝an＋f(n)把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．[典例1]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1，所以an－an－1＝(n－1)＋1，an－1－an－2＝(n－2)

2、＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1，…a2－a1＝1＋1，由已知，a1＝2＝1＋1，将以上各式相加，得an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋n＋1＝＋n＋1＝＋n＋1＝＋1.类型2an＋1＝f(n)an把原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．[典例2]已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]由an＋1＝·an，得＝.当n≥2，n∈N*时，an＝··…··a1＝··…··＝，即an＝.又当n＝1时，＝＝a1，故an＝.类型3an＋1

3、＝pan＋q[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0]先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解．[典例3]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]设递推公式an＋1＝2an＋3能够转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋

4、1,即an＝2n＋1－3.类型4an＋1＝pan＋qn[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0](1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，再用待定系数法解决；(2)也可在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋n，引入辅助数列{bn}，得bn＋1－bn＝n，再利用累加法(逐差相加法)求解．[典例4]已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]解法一：将an＋1＝an＋n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝(2n

5、an)＋1.令bn＝2nan，则bn＋1＝bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．所以bn－3＝－·n－1，即bn＝3－2·n.于是，an＝＝－.解法二：将an＋1＝an＋n＋1两边分别乘以3n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋n＋1.令bn＝3nan，则bn＋1＝bn＋n＋1，所以bn－bn－1＝n，bn－1－bn－2＝n－1，…，b2－b1＝2.将以上各式叠加，得bn－b1＝2＋…＋n－1＋n，又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，所以bn＝1

6、＋＋2＋…＋n－1＋n＝＝2·n＋1－2，即bn＝2·n＋1－2.故an＝＝－.类型5an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，然后与已知递推式比较，解出x，y，从而得到{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．[典例5]设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[思路分析]→→[解析]设递推公式能够转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，化简后与原递推

7、式比较，得解得则an＋n＋1＝3[an－1＋(n－1)＋1]．令bn＝an＋n＋1，(*)则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，代入(*)，得an＝2·3n－n－1.类型6an＋1＝pa(p>0，an>0)这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型，再利用待定系数法求解．[典例6]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝·a(m>0)，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解析]对an＋1＝·a两边取对数，得lgan＋1＝2lgan＋lg.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn

8、＋lg.所以得bn＋1＋lg＝2，记cn＝bn＋lg，则cn＋1＝2cn.所以数列{cn}是首项c1＝b1＋lg＝lg，公比为2的等比数列．所以cn＝2n－1·lg.所以bn＝cn－lg＝2n－1·lg－lg＝lg，即lgan＝lg，所以an＝m·2n－1.类型7an＋1＝(