理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十三--推理与证明第三十九讲--数学归纳法答案.doc

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1、专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法答案部分1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得所以故综上，．2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．当，即时，单调递增；当，即时，单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推测：．②下面用数学归纳法证明②．（1）当时，左边右边，②成立．（2）假设当时，②成立，即．当时，，由归纳假设可得．所以当时，②也成立．根据（1）（2），

2、可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得，即．3．【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()．4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明（1）当时，，原不等式成立。（2）假设时，不等式成立当时，所以时，原不

3、等式成立。综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。（1）当时由假设知成立。（2）假设时，不等式成立由易知当时由得由（Ⅰ）中的结论得因此，即所以当时，不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。再由得，即综上所述，证法2：设，则，并且，由此可见，在上单调递增，因而当时。（1）当时由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立。（2）假设时，不等式成立，则当时，即有，所以当时原不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。5．【解析】：（Ⅰ）解

4、法一：再由题设条件知从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即解法二：可写为.因此猜想.下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则这就是说，当时结论成立.所以（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命题：当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则先证：…………………………①当时，结论明显成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即这就是说，当时结论成

5、立，故①成立.再证：………………………………②当时，，有，即当时结论②成立假设时，结论成立，即由①及在上为减函数，得这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.由②得，即因此又由①、②及在上为减函数得，即所以解得.综上，由②③④知存在使对一切成立.6．【解析】（Ⅰ），令，解得.当时，，所以在内是减函数；当时，，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即①若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在①中令，，可得，即，亦即.综上，对，，为正有理数且，总有.②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式

6、为：设为非负实数，为正有理数.若，则.③用数学归纳法证明如下：（1）当时，，有，③成立.（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则.当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而.又因，由②得，从而．故当时，③成立．由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.7．【解析】（Ⅰ）由，而，的一个零点，且在（1，2）内有零点。因此至少有两个零点。解法1：记则当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因

7、为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，所以，当单调递减，而内无零点；当单调递减，而内无零点；当单调递增，而内至多只有一个零点。从而内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：由，则当从而上单调递增，则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。（Ⅱ）记的正零点为（1）当而由此猜测：。下面用数学归纳法证明。①当显然成立。②假设当时，由因此，当成立。故对任意的成立。（2）当，由（I）知，上单调递增，则，即，由此猜测：，下面用数学归纳法证明，①当显然成立。②假设当成立

8、，则当时，由因此，当成立，故对任意的成立综上所述，存在常数，使得对于任意的