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1、第二章一维杆中的应力波-塑性波2.4.2弹塑性杆中波的传播一维长杆中施加的载荷v达到材料的屈服速度（对应于材料中波的应力大于材料的屈服强度Y）时，即或材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此时，塑性波波速C是应变ε的函数，变化规律与材料的本构关系直接相关。(2-36)特征线法解弹塑性问题第二章一维杆中的应力波-塑性波特征线式相容关系式(2-33)(2-24)第二章一维杆中的应力波-塑性波引入则特征线上的相容关系可表示为其中，恒值区AOX及简单波区AOt中的弹性波部分与弹性波解相同(2-37)(2-38a)(2-38
2、b)第二章一维杆中的应力波-塑性波由于所有负向特征线都终将与X轴相交，在零初始扰动的初值条件下，Riemann不变量R2恒为零因此在塑性简单波区处处有(2-39)第二章一维杆中的应力波-塑性波由边界条件确定沿正向特征线的Riemann不变量Rl式中，C在物理意义上代表塑性波的传播速度第二章一维杆中的应力波-塑性波第二章一维杆中的应力波-塑性波(1)线弹性材料;(2)线弹性-线性硬化材料;(3)线弹性-递减硬化材料;(4)线弹性-递增硬化材料几种常见的材料本构模型（1）线弹性材料对于特定的材料弹性波波速为常数：，特征线为相互平行
3、的直线。（2）线弹性-线性硬化材料弹性区内，塑性区内，塑性波速为常数，且。弹性区内和塑性区内的特征线分别相互平行，但是弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。第二章一维杆中的应力波-塑性波（3）线弹性-递减硬化材料弹性区：，塑性区：且有.弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。a）上凸形的曲线；二阶导数；b）随着应力增加,应变增加,塑性波速减小,塑性波传播过程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。第二章一维杆中的应力波-塑性波（4）线弹性-递增硬化材料弹性区：，塑性区：，塑性波速不为常数。弹性区内特征线
4、分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。(a)下凹形的曲线;二阶导数；(b)随着应力增加,塑性波速增加；(c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的传播速度大于低幅值扰动的传播速度，波剖面会愈来愈陡(会聚波)，最终将在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。第二章一维杆中的应力波-塑性波例:半无限长杆,处于静止的自然状态,在初始t=0时刻杆端受到一撞击载荷,若杆端质点速度随时间的变化已知.问题归结为在初始条件和边条件下,求解杆中弹塑性波的传播问题.初条件边条件分析:(1)恒值区AOX与简单波区AOt中的弹性波部分
5、与前述弹性波解完全相同;恒值区AOXAOt中的弹性波第二章一维杆中的应力波-塑性波单波区有沿正向的特征线的Riemann不变量R1由边界条件确定沿正向特征线质点速度应变和应力均不变,从而不变,但对不同的正向特征线有不同的值.在塑性简单波区中正向特征线是一系列斜率不同的直线,即有(2)对应的塑性波部分,由于负向特征线都终将与X轴相交,在零初始扰动情况下,Riemann不变量R2恒为零.在塑性简第二章一维杆中的应力波-塑性波(3)塑性波的波速C取决于材料的密度和材料动态应力应变曲线塑性部分的斜率，因此根据材料本构关系的应变硬化特性
6、不同，所形成应力波的塑性波区的特征线之间的发散或会聚趋势也不同，应力波在传播过程中波剖面的变化趋势也不同。(4)根据特征线方法，可以画出一维弹塑性波的波系图（X-t图）、某一位置的图,以及杆中应力波传播的图.在平面上,塑性简单波区对应的一段曲线,当引入后，平面上塑性简单波区相对应一段直线.第二章一维杆中的应力波-塑性波第二章一维杆中的应力波-塑性波2.5空间坐标描述的控制方程欧拉（Euler）法研究弹塑性波的传播考虑空间指定区域（控制体积）研究各物理量在控制体积内的变化及其通过此控制体积边界（控制表面）的流动。各物理量是欧拉变
7、量，即空间坐标x和时间t的函数第二章一维杆中的应力波-塑性波dx欧拉空间坐标系描述的微元控制体积对于细长杆中的一维应力平面纵波问题考虑x及x+dx间的控制体积假设：杆的横截面保持为平面各物理量沿截面均匀分布m(x)v(x)m(x+dx)v(x+dx)p(x)p(x+dx)x化为以x和t为自变量的一维空间问题第二章一维杆中的应力波-塑性波占有空间长度dx的杆的质量为上式表示杆微元变形前后的质量守恒(2-41)第二章一维杆中的应力波-塑性波控制体积的质量守恒即在空间微元dx中质量的增加率等于进入和离开该微元空间的质量流之差dx内动
8、量的增加率应等于进入和离开该微元的动量流之差与净外力之和第二章一维杆中的应力波-塑性波简化两式得Euler变量表述的杆的连续方程和动力学方程：简化过程示例：(2-42)(2-43)第二章一维杆中的应力波-塑性波其中代入得第二章一维杆中的应力波-塑性波假定应力只是应变的函数：记
