高中数学竞赛系列辅导材料 集合.pdf

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1、集合（一）内容综述：本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。要点讲解：§1．基本理论除了课内知识外，我们补充以下知识相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个

2、集合称为A的阶。n阶集合的全部子集数目为。A，B，C为三个集合，就有下面的定律。（1）分配律（2）零律（3）排中律（4）吸收律（5）补交转换律（6）德·摩根律的相对形式例题分析：例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，

3、但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。说明：我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的

4、解法。就是“对应”的方法，“对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。例2：设A={1，2，……，2n.}，证明：A的任意n+1阶子集中，存在两个数，一个可被另一个整除。分析：对于2n个数中取n+1个数，我们应该有一个直觉就是把这2n个数分成n组，每组都必然满足题目条件，那么由抽屉原则命题就解决了。证明：前2n个自然数中，共有n个奇数。根据自然数的一种有用的表达形式；n=(2k-1)·2(,L为非负整数)考查A的下列n个子集，……容易看到：考虑A中任意n+1个元素，根据抽屉原则知，至少有两个元素是上述n个集合中同一个集合中的元素，这两个数中，

5、必有一个可被另一个整除。说明：把一个集合分成若干个两两不交的子集的并，也则分拆，这种分拆的方法在解决集合的问题时为常用方法之一。例3：某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。化学数学都优秀8人。这个班有5人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。分析：自然地设A={数学总评优秀的人}B={物理总评优秀的人}C={化学总评优秀的人}则已知

6、A

7、=21

8、B

9、=19

10、C

11、=20这表明全班人数在41至48人之间。仅数学优秀的人

12、数是可见仅数学优秀的人数在4至11人之间。同理仅物理优秀的人数在3至10人之间。同理仅化学优秀的人数在5至12人之间。解：（略）。说明：先将具体的实际生活中的问题数学化，然后根据数学理论来解决这个问题不仅是竞赛中常见情况，也是在未来学习中数学真正有用的地方。例4：n元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是种，而这时第一个集

13、合的选取的可能情况应为种，那么k从o变到n，总的情况可能就是。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，

14、因此不同的不交有序子集对的总数，以下同解法一。说明：本题为1973年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异很大的两个解法，解法一从题目要求想起，很容易想到，