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1、§2古典概型知识梳理1.试验结果有有限个,且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件.一个复杂彼此互斥的事件都可以表示成基本事件的和.2.我们把具有:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.13.基本事件总数n的古典概型中,每个基本事件发生的概率为.nA包含的基本事件个数4.在古典概型中,任何事件的概率P(A)=.总的基本事件个数5.在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件.6.事件A+B发生是指事件A和B至少有一个发生.如
2、果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B),这是互斥事件的概率加法公式.该公式还可以推广为多个互斥事件的情况,其公式是:P(A+A+…+A)=P(A)+P(A)+…+P(A).12n12n7.记A为事件A的对立事件,那么P(A)+P(A)=1.知识导学古典模型是一种最基本的模型,也是学习其他概率模型的基础,学习时要抓住以下三个特点:(1)对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;(2)对于这有限个不同的结果,它们出现的可能性是相等的;(3)求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中出现的结果进行
3、分析计算即可.因此,必须分清事件是否是等可能事件,以免与后面学习的其他事件及其概率混淆.事件A包含的基本事件数n古典概率的计算公式P(A)=,与事件A发生的频率f(A)=A有事件的基本事件总数nn本质的区别:对同一试验的同一事件P(A)为一个定值,而频率中的n是随试验次数变化而变A化的,因此,f(A)也是变化的,但f(A)总是接近于P(A).nn判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.对于两个互斥事件,由于它们不可能同时发生,即只有一个发生,所以可用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算其概率.对立事件一定互斥,但互斥不一定对立
4、.在概率的计算问题中,若事件A比较复杂,而其对立事件A比较简单时,我们往往通过公式P(A)=1-P(A),计算P(A)来求得P(A).古典概型比较简单又易于理解,并且在实践中有广泛的应用,学习这些,不仅能提高我们的学习兴趣,激发强烈的求知欲望,还能在解决问题中体会到数学本身的趣味性,应用的广泛性,帮助我们培养严谨的逻辑思维能力及高度概括能力.疑难突破1.如何正确地理解古典概型?剖析:如果一个试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;每一个试验结果出现的可能性相同,我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概
5、型.例如,抛掷一枚均匀的骰子,出现各个点数的可能性都是相等的;转带有指针的等份圆盘,指针指向每份的可能性相同;同时抛掷两枚硬币,出现两个硬币都“正面朝上”或都“反面朝上”的可能性相同等这些都属于古典概型.所以理解判断一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.所以对理解古典概型还应注意以下几点:(1)并不是所有的试验都是古典概型.例如在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽.这个试验的基本事件为“发芽”和“不发芽”.而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300mm
6、±0.6mm的一批合格产品中抽取一根,测量其直径,测得值可能是299.4mm到300.6mm之间的任何一个值,所有结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.(2)从集合角度看待概率.在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件个数n就是集合I的元素个数.事件A是集合I的一个包含m个元素的子集,所以card(A)mP(A)=.card(I)n(3)古典概型中,若试验只有n个等可能结果,其中导致事件A出现的结果有m个,则事件A出现的概率为A包含的基本事件个数mP(A)=.总的基本事件个数n(4)在面对具体问题时,应先判定所给问题是
7、否为古典概型,若是则根据题意设出事件A,并找出问题的全部等可能结果总数n和导数事件A出现的结果数m,代入古典概型的计算公式计算即可.m2.古典概率的计算公式P(A)=中,m和n的具体含义n剖析:n表示试验的所有可能结果(基本事件)数,m表示随机事件A包含的基本事件数,即A包含的基本事件个数mP(A)=.同时,对于某些比较复杂的问题可以利用已学的概总的基本事件个数n率模型进行对比分析以解答.例如,从某鱼池中捕得m条鱼,都作上记号后放回鱼池,再捕得nnk条鱼,其中有k条鱼有记号,大家很容易估计出这池鱼的数目约为条,我们使用了古典概m率的计算公式.3
8、.公式P(A+B)=P(A)+P(B)的适用条件剖析:事件A+B是一个事件,事件A+B发生是指事件A和B之中至少有一个发生.如果随机事件
