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1、竞赛讲座19-排列、组合、二项式定理基础知识1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）
2、捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为C3，这也就是方程abcd12的11正整数解的个数．2．圆排列（1）由A{a,a,a,,a}的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫123n做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照
3、同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在A{a,a,a,,a}的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆123nPr排列，圆排列数为n．r3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n位是的选取元素的方法都是m种，所以从m个不同的元素中，每次取出n个元素的可重复的排列数为mn．4．不尽相异元素的全排列如果n个元素中，有p个元素相同，又有p个元素相同，…，又有p个元素相同12s（
4、pppn），这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，12sn!它的排列数是p!p!p!12s5．可重组合（1）从n个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2,,p次的组合叫从n个元素取出p个有重复的组合．（2）定理：从n个元素每次取出p个元素有重复的组合数为：HpCr．nn(p1)6．二项式定理n（1）二项式定理(ab)nCkankbk（nN*）．nk0（2）二项开展式共有n1项．（3）TCranrbr（0rn）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第r1项．r1n（4）二项开展式中首末两端等距离的两
5、项的二项式系数相等．n（5）如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项的二项式系数C2最大；如果n是奇nn1n1数，则中间两项的二项式系数C2与C2最大．nn（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即C0C2C4C1C3C5nnnnnn7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟．（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中
6、的若干项进行放缩；（4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．例题分析例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？例3．有2n个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？例4．将n1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心
7、及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？例6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？例7．用A,B,C,D,E五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？例8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有
