通信原理AII第5次课教案.pdf

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1、10.4循环码·循环码是线性分组码中最重要的一个子类。·循环码除了具有线性分组码的封闭性外，还具有一个独特的特点：循环性。所谓循环性是指：一个n,k循环码中每个码组经任意循环移位之后，仍然是一个码组。表10.4.1给出了一种（7，3）循环码的全部码组。其中，全零码组自身形成一个封闭的自我循环，其余码组形成一个周期为n7循环环。可见，循环码是指它的任一码组循环移位后仍然是码组，而不是所有码组都可由一个码组循环而得。表10.4.1（7，3）循环码的全部码组码组编号信息位编码码组码组编号信息位编码码组100000000005100100101120010010111610110

2、1110030100101110711011001014011011100181111110010·循环码的这一外在特点，给循环码的编译码实现带来了便利。目前，实用差错控制系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码或循环码的子类(如BCH等)。10.4.1循环码的多项式描述1.码多项式定义：码组A=a,,a,a的码多项式为n110Txaxn1axa（10.4.1）n110例如，码组A=（1100101）可以表示为Txx6x5x21。在码多项式中，x的幂次指示码元的位置，其系数代表码元的取值。因此，我们并不关心x本身的值。2.码多项式的按模运算在

3、码多项式运算中也有类似的按模运算。若一任意多项式Fx被一n次多项式Nx除，得到商式Qx和一个次数小于n的余式Rx，即FxRxQx（10.4.2）NxNx或FxNxQxRx（10.4.3）则在模Nx运算下FxRxmodNx（10.4.4）这里，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1。例10.4.1x4x21被x31除，求余式。解用长除法注意，由于在模2运算中，用加法代替了减法，故余式不是x2x1而是x2x1。x4x21x2x1xx31x31x4x21x2x

4、1modx313.循环码多项式的模运算把一个码组表示成码多项式的形式后，循环码的循环特性可按如下方式表示。将码组A=a,,a,a的循环移位i记为n110Aia,a,a,aa,,a,a,an1i0n1n1i1n1i0n1ni则它们各自对应的码多项式分别是Txaxn1axan110Tixaxn1axian1i0ni于是有xiTxTixmodxn1（10.4.5）证明：将Tx乘以xi得到xiTxaxn1iaxn2iLaxnaxn1ax1

5、iaxin1n2nin1i10axi1axaxnn1n1iniaxn1ax1iaxin1i10axi1axan1n1iniaxi1axan1n1iniTixaxi1axaxn1n1n1iniTixmodxn1例10.4.2在表10.4.1中（7，3）循环码的第7个码组A的码多项式为7Txx6x5x21请写出A左循环移位3次的码组。7解n7,i3xiTxx3x6x5x21x9x8x5x3用长除法求余

6、式x3Txx5x3x2xmodx71其对应的码组为0101110，它是表10.4.1中第3个码组。由上述分析看出，在循环码理论中，xn1多项式非常重要。10.4.2循环码的生成多项式与生成矩阵对于表10.4.1所给出的（7，3）循环码，按线性分组码生成矩阵特性(2)，得到其生成矩阵为1011100G01011100010111或x6x4x3x2x2x4x2x1G53242xxxxxxxx1x4x2x1x4x2x1x2gxx

7、gx（10.4.6）gx可见，在循环码中，生成矩阵G可以由一个元素gx（码多项式）及其循环移位构成，这个元素叫做该n,k循环码的生成多项式。因此，求循环码生成矩阵G可进一步简化为求码的生成多项式gx。1.循环码生成多项式定义循环码生成多项式gx是所有码多项式Tx中除0多项式以外，次数最低的码多项式。例如，在表10.4.1所给出的（7，3）循环码中，第2个码组0010111对应的码多项式x4x2x1即为生成多项式。2.循环码生成多项式特性循环码生成多