解析数学中考史上十大难题.pdf

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1、解析数学中考史上十大难题原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和。题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。关于第

2、二问本文提供3种解法，仅供参考。解法一：解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积）解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等（2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF∴AF∥MC∴四边形AMCF是平行四边形.又∵FA=FC，∴四边形AMCF是菱形.∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且S△MAC=S△ACF在△BAC与△

3、EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,∴△BAC≌△EMC.∴AB=ME又∵AB=DB∴DB=ME又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM，∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°∴∠DAM=∠BAC，在△DAM与△BAC中，AD=AB,∠DAM=∠BAC,AM=AC∴△DAM≌△BAC∴DM=BC又∵BC=BE∴DM=BE∴四边形DBEM是平行四边形∴S△BDM=S△BEM由上所述∴△DAM≌△EMC∴S△DAM=S△EMC∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF所用知识点：图形的

4、分割能力，平行四边形面积，旋转，全等本题需要有类比的思想，面积和等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等，再证明剩余部分相等。解法二：解题思路：观察AF∥BC，AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE转换后能够发现较明显的图形旋转。连结BF，DC，AE∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAF=∠CAF+∠BAC,且∠DAB=∠CAF=60°∴∠DAC=∠BAF在△DAC与△BAF中AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF∴△DAC≌△BAF∴S△DAC=S△BAF又∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF∴AF∥BC∴S△BAF

5、=S△ACF∴S△DAC=S△ACF同理可证：S△DBC=S△CBE∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA=∠CBE=60°∴∠DBC=∠EBA在△DBC与△ABE中BD=AB,∠DBC=∠EBA,BC=BE∴△DBC≌△ABE∴S△DBC=S△ABE又∵∠ACB=60°，∠CBE=60°，∴∠ACB=∠CBE∴AC∥BE∴S△ABE=S△CBE∴S△DBC=S△CBE∴S△DAC+S△DBC=S△ACF+S△CBE即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换请注意：平行线间三角形等积转

6、换是分割图形很重要的思想解法三：解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。解：过点A作AG⊥BC交BC于点G，过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，AC=b，所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S=a2（a为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）由本题我们可以联想到：2005年本题出现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来，关于面积

7、转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积转换分割问题列举出一些常规试题。（一）旋转1.2009年石景山区数学二模第25题如图①，四边形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图②，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，