解读高考中的数学思想.pdf

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1、解读高考中的数学思想——数形结合篇山东孙璞刚数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解．例1设A{(x，y)

2、x2(y1)21}，B{(x，y)

3、

4、xym≥0}，则使AB成立的实数m的取值范围是_____．解析：由于集合A，B都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A是圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是不等式xym≥0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线xym0应与圆相切或相离且在圆的下方，即m1m0．当直线与圆相切时有1，解得m21，故m的取值范围是m≥21．2评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某

5、些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决．例2已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若，()是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，，之间的大小关系是（）．（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab解析：若令g(x)(xa)(xb)，显然函数g(x)的两个零点是a、b，函数f(x)的两个零点是，，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象沿y轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a

6、b，故应选（B）．例3若方程x24xm0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为_____．解析：将方程化为x24xm，构造函数f(x)x24x，g(x)m，则方程x24xm0恰有4个不同的实数根，亦即两个函数f(x)与g(x)的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当4＜m＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．11例4（2006年辽宁高考题）已知

7、函数f(x)(sinxcosx)sinxcosx，则22f(x)的值域是（）．222（A）[11]，（B），1（C）1，（D）1，22211cosx(sinx≥cosx)，解析：f(x)(sinxcosx)sinxcosx，即等价于22sinx(sinxcosx)，{sinx，cosx}，因此在同一坐标系下分别画出函数ysinx，ycosx的图象，在两个min图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数f(x)的图象，从而容易得到f(x)的2值域是1，，故答案为（C）．2

8、四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5设{a}(nN)是公差为d的等差数列，S是前n项的和，且nnSS，SSS，则下列结论错误的是（）．56678（A）d0（B）a07（C）SS（D）S和S均为S的最大值9567ndd解析：可以把等差数列的前n项和Sn2agn看成是关于n的二次函数，n212结合图形可知，答案为（C）．例6已知在等差数列{a}中，a12，前n项和为S，且S0，S0．则当Sn3n1213n取到最值时，n等于（）（A）6（B

9、）7（C）12（D）13解析：由于S0，S0，所以a0，而121313a120，所以数列的公差d＜0，即数列是递减数列．3则San2bn(a，bR，a0)，如图3，可以把Snn看成关于n的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又S0，S0，1213所以若设抛物线和x正半轴的交点为M(m，0)，则12＜m＜13，于是抛物线的对称轴为mx(6，6.5)，因此当n=6时S取到最大值，选（A）．2n编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题

10、例7如图4，请你观察图形