示范教案(241平面向量数量积的物理背景及其含义).pdf

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1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=

2、F

3、

4、s

5、cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也

6、涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.

11、3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时自主学习①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b

12、)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量

13、a

14、

15、b

16、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

17、a

18、

19、b

20、cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a与b的夹角,

21、a

22、cosθ(

23、b

24、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;(3)

25、符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<时cosθ>0,从而a·b>0;当<θ≤π时,cosθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数22量积的运算律.已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b

26、=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a

27、+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提合作交流①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:

28、b

29、cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生