课题：§241平面向量数量积的物理背景及其含义教案

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1、课题：§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、教学重、难点教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义2、性质与运算律及其应用教学难点：1、平面向量数量积的概念2、平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明三、教学过程活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已

2、经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义活动二：探究数量积的概念SFα1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=

3、F

4、

5、S

6、cosα。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，

7、②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱·︱︱cos（2）定义说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数

8、，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。4、学生讨论，并完成下表：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符号5、研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念：如图，我们把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=︱││︱cos（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积。6、研究数量积的物理意义（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降1

9、0米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。 活动三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？（2）比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？2、请证明上述结论。设和b都是非零向量，则1、⊥·=02、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，︱·︱=-︱︱︱︱，特别地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤︱︱×︱︱3、明晰：数量积的性质活动四：探究数量积的运算律1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律

10、对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想：①·=·②（·）=(·)③（+）·=·+·2、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。3、明晰：数量积的运算律：已知向量、、和实数λ，则：（1）·=·（2）（λ）·=λ（·)=·（λ）（3）（+）·=·+·4、学生活动：证明运算律2在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当

11、λ<0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？5、师生活动：证明运算律（3）活动五：应用与提高1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4,与的夹角θ=120°，求·2、师生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3、学生独立完成：对任意向量，b是否有以下结论：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—24、师生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4,且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？5、反

12、馈练习1、判断下列各题正确与否：①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0．②、若≠0，·＝·，则＝．2、已知△