初中数学竞赛试题及答案.pdf

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）xy12,1．方程组的解的个数为（）．xy6（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．xy12,解：若x≥0，则于是yy6，显然不可能．xy6,xy12,若x0，则xy6,于是yy18，解得

2、y9，进而求得x3．x3,所以，原方程组的解为只有1个解．y9,故选（A）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚举法：红球个数白球个数黑球个数种数52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16种．故选（B）．3．已知△ABC为锐角三角形

3、，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以BAC，ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BACABE．于是，BECBACABE2BAC．若△ABC的外心为O，则BOC2BAC，所以，⊙O11一定过△ABC的外心．（第3题答案图）故选（B）．4．已知三个关于x的一元二次方

4、程ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0a2b2c2恰有一个公共实数根，则的值为（）．bccaab（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：设x是它们的一个公共实数根，则0ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0．000000把上面三个式子相加，并整理得(abc)(x2x1)0．0013因为x2x1(x)20，所以abc0．00024于是a2b2c2a3b3c3a3b3(ab)3bccaababcabc3ab(ab)3．

5、abc故选（D）．5．方程x36x25xy3y2的整数解（x，y）的个数是（）．（A）0（B）1（C）3（D）无穷多答：（A）．解：原方程可化为x(x1)(x2)（3x2x）y(y1)(y1)2，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CA＝4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差

6、的绝对值是．答：4．解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积，即△BOP面积的两倍．而11SPOCO222．BPO22（第6题答案图）因此，这两部分面积之差的绝对值是4．337．如图,点A，C都在函数y(x0)的图象上，点B，D都在x轴上，x且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．答：（26，0）．解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b，则AE＝3a，CF＝3b，

7、所以，点A，C的坐标为（第7题答案图）（a，3a），（2a＋b，3b），3a233,所以3b(2ab)33,解得a3,b63,因此，点D的坐标为（26，0）．8．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数yx2a3x3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是．1答：1≤a，或者a323．2解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数yx2a3x3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以12(a3)13

8、22(a3)230，1得1a．2由12(a3)130，得a1，此时x1，x3，符合题意；1213由22(a3)230，得a，此时x2，x，不符合题意．2122（Ⅱ）令x2a