初中数学总复习系列_综合复习题.pdf

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1、综合复习题（二）【例题精选】：一、方程型综合题：（一）方程与代数综合题：例1：已知二次方程mx22(m1)xm20有两个正整数根，求整数m。解：方程有两个根，m004(m1)24m(m2)4(m22m1m22m)4解方程，得mxm(2)(x10)m22x1x11mm2根为整数，m为整数，m1或m2有两个正整根m1或2例2：关于x的方程(m2)x25mxm30（1）求证方程有实数根；（2）若方程有两个实数根，且两根的平方和等于3，求m的值。（1）证明：当m20时，即m2方程为25x5

2、0，5x，有唯一实数根2当m20时，5m24(m2)(m3)5m24(m2m6)m24m24(m2)220(m2)20(m2)2200即0方程有实根（2）设方程的两根为x，x12m2005m依题意：xx12m2m3xx12m2x2x2312xx22xx312125m2m32·3m2m25m22(m3)(m2)3(m2)25m22(m2m6)3(m24m4)5m22m22m123m212m1210m0m0m的

3、值为0小结：方程有实根往往被学生误认为只对一元二次方程而言，其实当m20时，方程为一元一次方程，同样有此情况。因此应分类讨论。例3：已知关于x的方程(m3)x22mxm10有两个实根，两根的平方和与两根积的28倍的差大于－26，求最大整数m。解：设方程的根为x，x12a002mxx12m3依题意m1xx12m3x2x228xx261212m为整数4m24(m3)(m1)4m2(m24m3)4(4m3)03m4xx230xx2612122m2m13026m3m

4、34m230(m1)(m3)26(m3)22m215(m24m3)13(m26m9)02m215m260m4513m278m117018m72m43m4且m3，m为整数4最大整数m的值为2。例4：已知：关于x的方程x2axbc0和x2bxac0有且仅有一个非零公共根，求证：它们的其余两个根是方程x2cxab0的根。证明：设公共根为x。0x2axbc0(1)依题意：00x2bxac0(2)00(1)(2)(ab)x(ba)c00(ab)(xc)00若ab，两方程系数均相同，有两

5、个公共根，与两方程有且仅有一个非零公共根矛盾。abxc0设方程x2axbc0的另一根为x，1x·cbc1xb1设方程x2bxac0的另一根为x，2x·cac2xa2xxab12xxab12xc是方程的非零根。0c2acbc0c0cab0abcxxc12x·xab12原题得证小结：1、注意：方程、元、次概念。如第3题中方程有一次、两次两种可能。2、注意：方程根、公根的概念。如第4题中，非零公共根；如第1题，正整数根。3、方程中的待定系数的关键是构造关于“待定系数”的方程，不等式组。（二）方程与几何综合

6、题例1：已知关于x的方程(ac)x22bx(ca)0的两根之和为－1，两根之差为1，其中a、b、c是ABC的三边长，（1）求方程的两根；（2）试判断ABC的形状。解：设方程的两根为x，x12ac002bxx12ac依题意acx·x12acxx112xx112xx1xx1（1）1212xx1xx11221x0x111x1x022方程两根为0，－1。（2）xx1122b1ac2bacxx24x·x11212124ac

7、1acca0accaabcABC是等边三角形例2：在矩形ABCD中，AB=a，BC=2b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，且a，b是二次方程x27x120的两根，求DE的长。解法一：x27x120(x4)(x3)0x4，x312ABM∽DEADE6DE8453524DE5解法二：可证ABM∽DEADEDAa·2bDEABAMa2b22ab(a