高等数学B：6_2反常积分判敛法.doc

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1、§6.2反常积分判敛法复习：1．反常积分2．积分当时收敛；当时发散。3.积分及当时收敛；当时发散。6.2.1无穷区间反常积分判敛法定理1(比较判别法)设，且（），则（1）当收敛时，也收敛；（2）当发散时，也发散。证明：设收敛，∵，∴，有∵，∴单调不减且有上界，故存在，即收敛。（2）用反证法由（1）即得。例1．判别反常积分的敛散性：（1）解：∵，而，∴收敛，8故也收敛，（2）解：∵，而，∴发散，故也发散。由于反常积分当时收敛；当时发散。因此在定理1中取，即可得反常积分的极限判别法。定理2(极限判别

2、法)设，，且，则当（1）当，时，收敛；（2）当，时，发散。例2．判别下列反常积分的敛散性：（1）解：，∵，，∴收敛。8（2）解：∵，，∴发散。（3）解：∵，，∴收敛称为概率积分，利用重积分的知识可得。注意：比较法和极限法只有在被积函数非负的条件下才能使用。当反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值时，可引进绝对收敛的概念.定理3设，若收敛，则也收敛。例3．判别反常积分的敛散性。解：∵，而收敛，∴收敛，从而收敛。6.2.2被积函数有无穷型间断点的反常积分的判敛法定理4（比较判别法）8设

3、，为无穷型间断点，且时，，则（1）当收敛时，也收敛；（2）当发散时，也发散。定理5（极限判别法）设，，为无穷型间断点，且，则（1）当，时，收敛；（2）当，时，发散。若为无穷型间断点，相应的极限式为。例4．判别下列反常积分的敛散性：（1）解：是瑕点。∵，（），∴收敛。（2）解：和是瑕点，为此讨论下面两个反常积分8和的敛散性。∵，，∴收敛。∵，，∴收敛。故收敛。当反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值时，可引进绝对收敛的概念.（3）解：∵，而（）收敛，∴，从而收敛。例5．判别反常积分的

4、敛散性。解：此积分的积分区间为无穷区间，又当时，是被积函数的瑕点。为此分别讨论下列两个积分，，先讨论的敛散性。8①当时，是常义积分，收敛的；　∵，②当时，　∴收敛。③，∴发散。再讨论的敛散性。∵，，∴收敛。综上可知，反常积分，当时收敛；当时发散。6.2.3函数1.函数的定义函数，称为伽马函数。2．函数的递推公式：证明：。当为正整数时，有，而，故。83．函数的定义域的扩充当，即时，有定义，从而定义，，当，即时，有定义，再定义，，依次类推，可将的定义域与负整数之外的一切实数，即4．函数的其它形式在中

5、，令，则得函数的另一种形式：。若在上式中令，则得。例6．用函数表示下列积分：（1）解：令，，。8（2）解：令，则，，则.8