函数的奇偶性上课讲义.ppt

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1、1.3.2奇偶性第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质xy0观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=

2、x

3、实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x

4、)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，

5、那么f(x)就叫做奇函数．3.奇偶性如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注意：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则它是偶函数。（4）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。【典例分析】【例1】判断下列函数的奇偶性：f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3

6、)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；(5)f(x)＝5；(6)f(x)＝0.（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0常函数.前提是定义域关于原点对称）.【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点对称；(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数【活学活用1】判断下列函数的奇偶性：(2)(5)f(x)=x3+2x；(6)？思考：讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的

7、奇偶性（1）如图⑴，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，求f(－4).（2）如图⑵，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.【例2】（1）（2）【活学活用2】(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小并试作出y轴右侧的图象．【思考】奇函数f(x)的对称区间上的单调性有什么关系？偶函数呢？已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式

8、．【例3】【活学活用3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，求函数f(x)在R上的解析式．【课堂练习】1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为。2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．4.若函数f(x)＝（m－1）x2+2mx+3是偶函数，则m=。本课小结1、两个定义：对于f(x)定义

9、域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称3.判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。【课堂作业】课本第36页第1题及大册子第24页