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1、实验03建立数学模型3.1人口指数增长模型演示本实验不要求写实验报告。1．实验目的（1）学会人口指数增长模型的建模过程；（2）进一步掌握MATLAB软件的一些基本功能；（3）初步掌握用MATLAB软件对模型作分析检验；（4）学会使用MATLAB软件的help功能。2．实验内容（参考教材p10-12）利用表1，对人口指数增长模型作检验。表1美国1790-2000年人口统计数据（以百万为单位）年17901800181018201830184018501860187018801890人口3.95.37.
2、29.612.917.123.231.438.650.262.9年19001910192019301940195019601970198019902000人口76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.43．实验步骤（1）模型假设人口增长率为常数r。（2）模型建立（微分方程模型）记时刻t的人口为x(t)，为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为x0。由模型假设人口增长率为常数r。考虑t到t+Δ
3、t时间内人口的增量，可得x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δtx(t+Δt)-x(t)——————————————=rx(t)Δt令Δt→0，得到x(t)满足微分方程dx————=rx(t)dtx(0)=x0用MATLAB求解该微分方程>>x=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0')x=x0*exp(r*t)得解为x(t)=x0ert即为人口指数增长模型。（3）参数估计用表1的数据估计参数x0、r。将x(t)=x0ert两边对数，可得y=rt+a,y=lnx,a=lnx0采用线性最小
4、二乘法进行数据拟合，用MATLAB软件计算。以下是MATLAB的一个脚本式文件：%分别用1790年至1900年的数据和全部数据（1790年至2000年）进行数据拟合求参数r，x0。%文件名：p10_ra.mclear;clc;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.4...38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7...150.7179.3204.0226.5251.4281.4];t=0:length(x)-1;y1=log(x(1:12));%取
5、1790-1900年的数据ra1=polyfit(t(1:12),y1,1);%为数据数拟合多项式，用helpployfit查阅disp('用1790-1900年的数据估计的参数为：')disp(['r=',num2str(round(10000*ra1(1))/10000),...'x0=',num2str(exp(ra1(2)))])y2=log(x);%取1790-2000年的数据ra2=polyfit(t,y2,1);disp('用1790-2000年的数据估计的参数为：')disp(['
6、r=',num2str(round(10000*ra2(1))/10000),...'x0=',num2str(exp(ra2(2)))])运行结果：用1790-1900年的数据估计的参数为：r=0.2743x0=4.1884用1790-2000年的数据估计的参数为：r=0.2022x0=6.045分别得到两个人口指数增长模型：x1(t)=4.1884e0.2743tx2(t)=6.0450e0.2022tx1(t),x2(t)是1790+10t年的人口数（以百万为单位），t=0,1,2,…。r为
7、每10年的人口增长率（估计值）。x(0)=x0为1790年初始人口数（估计值）。（4）结果分析用以上模型计算出的结果与实际数据作比较。为了减少误差，把求模型参数和计算结果数据编写成一个MATLAB程序。以下是一个脚本式文件：%分别用1790年至1900年和用1790年至2000年的数据建立人口指数增长模型，用模型计算人口数据。%文件名：p11_data.mclear;clc;formatcompact%输出中没有空行x=[3.95.37.29.612.917.123.231.4...38.650.
8、262.976.092.0106.5123.2131.7...150.7179.3204.0226.5251.4281.4];t=0:length(x)-1;y1=log(x(1:12));ra1=polyfit(t(1:12),y1,1);y2=log(x);ra2=polyfit(t,y2,1);y=[ra1(1)*t+ra1(2);ra2(1)*t+ra2(2)];xx=exp(y);xx(1,13:22)=zeros(1,10);disp('指数增长模型拟合美国人口数据的结
