解三对角方程组的追赶法课件.ppt

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1、1第二章解线性方程组的直接方法2.3.4解三对角方程组的追赶法在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组2第二章解线性方程组的直接方法如果用矩阵形式简记为其中系数矩阵称为三对角方程组.是一种特殊的稀疏矩阵.它的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两条对角线上，称为三对角矩阵.方程(2-23)(2-24)p53第二章解线性方程组的直接方法Gauss消去法用于三对角方程组时过程可以大大简化.具体地说，第一次消元只要对第2个方程进行，也就是矩阵其中,第一次消元后，第2个方程变成4第二章解线性方程组的直接方法因而在第二次消元时只要对第3个方程进行

2、消元，即是单位下二对角阵中.因此类推可以得出,三对角矩阵作三角分解时,矩阵的形式也比较简单，其中5第二章解线性方程组的直接方法定理2.2设矩阵（2-24）满足下列条件：是上二对角阵.p26第二章解线性方程组的直接方法其中则它可以分解为为矩阵（2-24）中所给出,且分解是唯一的.(2-25)7第二章解线性方程组的直接方法[证明]将式(2-25)右端按乘法规则展开,并与A进行比较,得如果，则由上式可得（2-26）p118第二章解线性方程组的直接方法按Gauss消去法步骤易得，经过次消元后,方程组（2-23）的系数矩阵变成9第二章解线性方程组的直接方法其中由A满足条件（*），显然有又因为从而

3、有于是10第二章解线性方程组的直接方法故且矩阵仍满足条件（*）.依次类推可得出因此由式(2-26)唯一地确定了L和U当矩阵（2-24）按式（2-26）可化为求解方程组和解得（2-27）计算进行三角分解后,求解方程组（2-23）11第二章解线性方程组的直接方法再解得方程组（2-23）的解:(2-28)按上述过程求解三对角方程称为追赶法,式（2-26）和式（2-27）结合称为“追”的过程,相当于Gauss消去法中的消元过程.式(2-28)称为“赶”的过程,相当于回代过程.p8712第二章解线性方程组的直接方法2．对1.输入算法2.213第二章解线性方程组的直接方法5．输出4.对,停机.追赶

4、法的基本思想与Gauss消去法及三角分解法相同,只是由于系数中出现了大量的零，计算中可将它们撇开,从而使得计算公式简化，也大大地减少计算量.其乘除运算量为14第二章解线性方程组的直接方法§2.4平方根法与改进的平方根法的对角元素皆为正数。工程实际问题的计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对称正定性，矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特殊的解法。2.4.1平方根法（Cholesky分解法）定理2.3设是对称正定矩阵,则存在唯一的非奇异下三角阵使得（2-29）且15第二章解线性方程组的直接方法[证明]因为A由定理2.1,矩阵A其中角矩阵,且为单位下三角矩阵。则为上三

5、角阵，令因为对称正定,其各阶顺序主子式大于零,存在Doolitle分解，即为单位上三对称，故有16第二章解线性方程组的直接方法由Doolitle分解的唯一性，得对任意非零向量于是由即正定，所以的对角元素均为正数。令即是正定的17第二章解线性方程组的直接方法其中唯一性。假设存在非奇异下三角阵则为非奇异下三角阵,且对角元素皆为正数.元素皆为正数，且使得其对角于是有18第二章解线性方程组的直接方法因为是上三角阵，即，与假设矛盾。上式必得是下三角阵,故由矩阵的这种分解称为Cholesky分解。用比较法可以导出设的计算公式.p1419第二章解线性方程组的直接方法的对角元素皆为正数。2.4.1平方

6、根法（Cholesky分解法）定理2.3设是对称正定矩阵,则存在唯一的非奇异下三角阵,使得（2-29）且矩阵的这种分解称为Cholesky分解。用比较法可以导出设的计算公式.20第二章解线性方程组的直接方法比较与这里规定计算顺序是按列进行，即的相应元素，可得（2-30）21第二章解线性方程组的直接方法当矩阵A完成Cholesky分解后，求解方程组就转化为依次求解方程组它们的解分别为即22第二章解线性方程组的直接方法Cholesky分解法。这种方法无需选主元，计算过程也是单元也少，只要存贮A的下三角部分和右端项b中存放在A的存贮单元，y,x存放在b但这种方法在求L时需作n了计算量.求解线

7、性方程组的上述方法称为平方根法，也称为稳定的.由于A的对称性,平方根法的乘除运算量为数量级，约是Gauss消去法的一半.上机计算时,所需存贮,计算的存贮单元.次开方运算，这样又增加23第二章解线性方程组的直接方法[解]显然系数矩阵是正定矩阵,设例用平方根法解线性方程组解得由由解得25第二章解线性方程组的直接方法2.4.2改进的平方根法其中为单位下三角矩阵，为对角阵.记定理2.3的证明过程表明，对称正定矩阵A又可以做如下分解：法)26第二章解线性