解三对交线方程组的追赶法1.ppt

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1、4.4特殊线性方程组的解法4.4.1解三对角方程组的追赶法在三次样条插值问题和常微分方程边值问题的数值方法中，都要求解对角占优的三对角线性方程组其中：(4.4.1)(4.4.2)并且A满足称A为对角占优的三对角线矩阵。可以验证，(4.4.2)式中的A可以分解为二对角线的下三角矩阵L和二对角的上三角阵U的乘积。当L的对角线元素为1时，属于Doolittle分解。当U的对角线元素为1时，属于Crout分解。以下对A作Crout分解.(4.4.3)令对照(4.4.2)式中的A和(4.4.4)式中的L,U

2、，利用矩阵的乘法，得:(4.4.4)(4.4.5)从(4.4.5)解出可见，对A的分解只需求且按的递推过程进行，形象地称为“追”的过程这样，解方程组(4.4.1)就化为求令则。解方程组，即(4.4.6)得：解方程组即得形象地称回代求解过程（4.4.8）为“赶”的过程，由公式(4.4.6)（4.4.7）(4.4.8)求解方程组(4.4.1)的方法称为追赶法。(4.4.7)(4.4.8)不过，从计算的公式(4.4.7)可以看出，只要算出和就可以计算，所以可将计(4.4.7)归于“追”的过程，即求L,U

3、,Y可以组织在一个循环中，当系数矩阵A满足条件(4.4.3)时，用数学归纳法可以证明由于有界，且在数量级上与A的元素相当，因此，即使不选主元，追赶法在一般情况下也是数值稳定的。又因为所以(4.4.1)的解存在且惟一。例4.4.1，4.4.2（P89)二、追赶法设A为满足(4.4.3)的n阶三对角阵，A=LU—杜里特尔分解若L´为下三角阵，U为单位上三角阵。A=L´U—Cront分解A=LDR(一般三角分解)(追赶分解法)(平方根法)即有：则有唯一三角分解A=L´U。由矩阵乘法，得:解（7.1）的追

4、赶法计算公式（1）分解计算公式()：（2）求解逆推公式（3）求解逆推公式例4.4.1（P89）追赶法的计算量为5n-4次乘除法，可用4个一维数组存放。共占用4n-2个单元，在计算过程中依次覆盖掉最后，覆盖掉，所以，追赶法具有计算量小，占用内存单元少的特点。注：实际上，条件（4.4.3）是充分的，但并非完全必要，三对角线上不能有零元素，条件太苛刻，条件可以作适当改变，使追赶法还可行。即具有严格对角优势的三对角线方程组均可用追赶法。理解解三对角线方程组的解法：追赶法并会解题（上机）。本课重点：P.98

5、4.8作业: