求曲线上任意一点的曲率半径.docx

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1、求曲线上任意一点的曲率半径已知曲线的方程为y=f(x)将其以t为参数,改写为参数方程形式x=ty=f(t)我们可以把它视作一个质点的运动方程组,其中,在水平方向是速度为1的匀速运动,在竖直方向是运动方程为y=f(t)的某种未知运动.将x和y分别对t求一阶导数得到速度vx=dxdt=1vy=dydt=f'(t)再将x和y对t求二阶导数得加速度ax=d2xdt2=0ay=d2ydt2=f''(t)在水平方向无加速度.从圆周运动的向心加速度公式an=v2R可以推得曲率半径的表达式为ρ=v2an其中an为ay在与速度v垂直方向的分量.ayanvθθ由图中得an=aycosθ,而cosθ=1ta

2、n2θ+1=1f'x2+1v2=vx2+vy2所以,ρx=vx2+vy2aycosθ=1+f't2f''t1f'x2+1因为x=t,故ρx=1+f'x232f''xρ为正,说明曲率半径在曲线的上方，反之在下方.