利用数学公式和物理模型求曲率半径

《利用数学公式和物理模型求曲率半径》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、利用数学公式和物理模型求曲率半径丁震（江苏省泰兴中学江苏225400）摘要本文首先推导高等数学中的曲率公式，使读者对曲率、曲率半径的知识有比较全面、清晰的理解，然后从平抛运动模型、简谐运动模型、天体运动模型和凹面镜模型推导圆锥曲线中顶点位置的曲率半径。关键词曲率开普勒第二定律笛卡尔规则高中物理教学中处理一般曲线运动的力和运动问题，常建立圆周运动模型，圆为相切圆或辅助圆，相切圆的半径即为曲率半径。在自主招生和物理竞赛的命题中，关于曲率半径的知识也屡见不鲜。笔者重点利用几种常见的物理模型推导圆锥曲线中特殊位置的曲率半径，抛砖引玉，希

2、望各位同仁批评指正。一．曲率公式曲线运动的轨迹是曲线，在数学上，用曲率描述曲线（连续函数）弯曲程度。如图1所示xoy坐标系中曲线上有两逼近的点M和，设M的弧长为Δs，M和切线的倾斜角变化量为Δα，则弧微分公式：，；平均曲率：；图1M点的曲率：，其中为一阶导数，为二阶导数；M点的曲率半径：；只要曲线方程给定，都能够利用公式求出曲线上各点的曲率半径。二．平抛运动模型如图2所示小球m以v0平抛，不计阻力，则，；消去t得：；在抛出点O：，得：；图2抛物线的标准方程，其中；故顶点O处曲率半径。三．简谐运动模型质点m做椭圆运动，可视为两个互

3、相垂直的同频率简谐运动的叠加，如图3所示xoy坐标系中，椭圆方程，半焦距；x方向：，振幅为；图3y方向：，振幅为b，其中k为回复力系数；则在顶点A处：；简谐运动的频率，得：，同理顶点B处：。一．天体运动模型如图4所示双曲线方程，半焦距，渐近线方程。质量为M的太阳在焦点F（c,0）处。设行星在双曲线轨道顶点时的速率为v0，质量为m的行星绕太阳运动在顶点处的机械能为，设行星远离太阳时的速率为v∞，根据开普勒第二定律：根据机械能守恒定律：，可得：；图4在顶点处：，得。二．凹面镜模型几何光学中凹面镜成像的物像关系在近轴光线条件下，利用笛

4、卡尔规则表示为：，其中s’为像距，s为物距，r为球面半径，顶点左侧为负，右侧为正。分别利用物像关系推导圆锥曲线中顶点处的曲率半径。图5-1图5-2图5-3如图5-1，当反射面为抛物面时，，得；如图5-2，当反射面为椭圆面时，，得；如图5-3，当反射面为双曲面时，，得。物像关系的适用条件必须是近轴光线，而曲线上M和无限逼近，恰好使这一条件得以满足，使得求曲率半径不再是近似，而是精确求解，同时利用几何光学求解更简单、易理解。参考文献【1】同济大学数学教研室主编．高等数学．高等教育出版社，1988年4月第3版．【2】沈晨主编．更高更妙

5、的物理．浙江大学出版社，2006年1月第1版．