典型曲线曲率半径的物理求法.pdf

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1、·难点挑战·２椭圆的曲率半径２２ｘｙ例２质点运动的椭圆轨道方程为：＋２２ａｂ＝１．试利用物理方法求Ａ（ａ，０）和Ｂ（０，ｂ）两点处的曲率半径，如图２所示．解法１要用物理方法求Ａ、Ｂ两点的曲率半径，就要想象一图２种质点的运动，该质点运动的轨道是一椭圆，由简谐◇　山东王光儒运动的合成知识，可把质点的椭圆运动看成２个互相在物理竞赛中，经常碰到一些涉及典型曲线的曲π垂直的同频率且相位差为的简谐运动的合成．设质率半径的问题，曲率半径ρ在数学上有严格的意义和２表达式，在曲线的方程已知的条件下，还需利用二阶点的运动方程为：导数．对于参加物理竞赛的中学生来说，利用物理方ｘ＝ａｃｏｓωｔ，①法求解曲率半径ρ较为

2、简单．利用的运动学公式：ａｎ＝ｙ＝ｂｓｉｎωｔ，②２２对应的轨道方程就是题中给出的椭圆方程．ｖｖ可得ρ＝（其中ｖ是质点在曲线上的运动速度，ａｎρａｎＡ（ａ，０）的速度ｖＡ是切向速度，又是质点在ｙ方是在曲线上某点运动时沿法线方向的加速度）．向振动时的最大速度，有该类题目的基本思路是首先选择在此轨道上的ｖＡ＝ｂω，③一种运动，然后在此运动下给出轨道上观察点的运动此处质点受力沿ｘ方向，即曲线的法向，大小为：速率和法向加速度，最后由上式得到观察点的曲率２ｋｆ＝ｋａ，由简谐运动知识可得：ω＝，所以半径．ｍ２ｆ＝ｍωａ．④１抛物线的曲率半径法向加速度为ａ２ｎ＝ωａ．⑤例１将小球以１０ｍ·ｓ－１的初速度从楼

3、顶平抛由式③和⑤，得到Ａ（ａ，０）处曲率半径出去，如果小球做曲线运动的法向加速度为５ｍ·ｖ２２Ａｂ－２，问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半ρＡ＝＝．⑥ｓａｎａ径各为多少？（空气阻力不计）同理求得Ｂ（０，ｂ）处切向速度、法向加速度、曲率２２如图１所示，ｇ＝ａｔ＋ａｎ，ｖ＝ｖｘ＋ｖｙ，半径：ｖ，ａ２ｖＢａＢ＝ωａｎ＝ωｂ，ρＢ＝＝．ａｎｂ·ｓ－２ａｎ１，得θ＝６０°．当ａｎ＝５ｍ时，ｃｏｓθ＝＝解法２我们还可以把此椭圆轨道方程选择成地ｇ２球在太阳引力场中运动的一条轨道，然后由这个质点的运动确定其曲率半径．设质量为ｍ０的太阳位于焦点Ｆ１处，如图３所示，质量为ｍ的地球绕太阳运动轨道是题中所给的椭

4、圆．由地球在太阳引力场中运动机械能守恒和角动量守恒，可推出地球绕太阳运动的机械能可表示为：图１由几何知识得，ｖ与ｖｘ的夹角θ＝６０°．Ｅ＝－Ｇｍ０ｍ．①２ａ因为ｖ，所以ｖ－１，ｘ＝ｖ０ｙ＝ｖ０ｔａｎθ＝１０槡３ｍ·ｓ１２ｍ０ｍｍ０ｍｖ２对于Ａ点：ｍｖＡ－Ｇ＝－Ｇ，ｙ２ｒ２ａｈ＝＝１５ｍ，２ｇ其中ｒ＝ａ＋ｃ，所以ｖ０－１ｖ＝＝２ｖ０＝２０ｍ·ｓ．ｃｏｓ６０°Ｇｍ０（ａ－ｃ）ｖＡ＝．②ｖ２ｖ２槡ａ（ａ＋ｃ）根据ａｎ＝得ρ＝＝８０ｍ．ρａｎ对于Ｂ点：７１不要慨叹生活的痛苦！－－－慨叹是弱者．·难点挑战·１２ｍ０ｍｍ０ｍ等距螺旋运动，且运动中速率不变，所以可以知道，ｖ竖ｍｖＢ－Ｇ＝－Ｇ，２ｒ２ａ在运动

5、中方向和大小均保持不变；ｖ水在运动中大小不２２Ｇｍ０变，方向不断变化，其运动相当于在同一水平面内半其中ｒ＝槡ｂ＋ｃ＝ａ，所以ｖＢ＝槡．③ａ径为Ｒ的匀速圆周运动．则ｖ＝ｖ水＋ｖ竖．利用质点做曲线运动的法向动力学方程摩托车的加速度为２ｍｖｆｎ＝．④ΔｖΔ（ｖ水＋ｖ竖）Δｖ水ρａ＝＝＝．ΔｔΔｔΔｔ可得到行星椭圆轨道各处的曲率半径表达式．Δｖ竖如图３所示，椭圆轨这里已利用ａ＝Δｔ＝０．因此摩托车做螺旋线道上任一点Ｐ处，行星运运动的法向加速度与水平分速度ｖ水做半径为Ｒ的圆动法向动力学方程为周运动的加速度相同，它只有法向加速度，没有切向２２ｍ０ｍｍｖｖ水Ｇ２ｃｏｓθ＝．加速度，即ａｎ＝．①ｒρＲ⑤另外，

6、我们同样可以从摩托车运动的角度求出法对于Ａ点：图３向加速度．尽管螺旋线是一条三维空间的曲线，但是ｃｏｓθ＝１，ｒ＝ａ＋ｃ，在三维曲线上取一小线元，当线元趋于零时，可以看将式②代入得成是趋于同一平面上的小圆弧，对应的圆弧半径就是２２２２２ｖＡｒａ－ｃｂ在该处的曲率半径．由此可以求出法向加速度．因等ρＡ＝＝＝．⑥Ｇｍ０ａａ距螺旋线的对称性，各处的曲率半径相同，设为ρ，摩ｂ对于Ｂ点：ｃｏｓθ＝，ｒ＝ａ，将③代入得托车做螺旋运动时的法向加速度可以写为ａ２ｖ２２２ａｖＢｒａｎ＝．②ρＢ＝＝．⑦ρＧｍ０ｃｏｓθｂ２ｖ这个结果与解法１所得结果相同．比较①②得：ρ＝２Ｒ，ｖ水３螺旋线的曲率半径利用摩托车在筒壁

7、绕一圈的几何关系，如图４（ｂ），例３一杂技演员在圆筒形建筑物内壁表演飞得到ｖ水＝ｃｏｓθ＝２πＲ，ｖ（２πＲ）２２槡＋ｈ车走壁．演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增代入ρ的表达式，得螺旋线曲率半径加，圈子越来越大，最后进入圆筒形直壁上行驶．开始２２２４πＲ＋ｈ在直壁上同一高度内做圆周运动，继而又在直壁上做，ρ＝２４πＲ等距螺旋运动．已知圆筒直壁的半径为Ｒ，摩托车行２２４πＲｖ驶速率为ｖ（匀速率运