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时间:2020-08-09
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1、第八章量子力学基础8.1同光子一样,实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长,即德布罗意波长给出。试计算下列波长。(1eV=1.J,电子质量9.109kg,中子质量1.674kg)(1)具有动能1eV,100eV的电子;(2)具有动能1eV的中子;(3)速度为640m/s、质量为15g的弹头。解:德布罗意波长可以表示为:,那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得:(1)动能1eV的电子的波长为动能100eV的电子(2)动能1eV的中子的波长为(3)速度为640m/s、质量为15g的弹头的波长为8.2在一维
2、势箱问题求解中,假定在箱内(C为常数),是否对其解产生影响?怎样影响?解:当时,一维势箱粒子的Schrödinger方程为边界条件不变,因此Schrödinger方程的解为即不影响波函数,能级整体改变C:8.3一质量为m,在一维势箱中运动的粒子,其量子态为(1)该量子态是否为能量算符的本征态?(2)对该系统进行能量测量,其可能的结果及其所对应的概率为何?(3)处于该量子态粒子能量的平均值为多少?解:对波函数的分析可知(1) 由于因此,不是能量算符的本征态。(2)由于是能量本征态和的线性组合,而且是归一化的,因此能量
3、测量的可能值为其出现的概率分别为(3)能量测量的平均值为8.4质量为1g重的小球在1cm长的盒内,试计算当它的能量等于在300K下的kT时其量子数n。这一结果说明了什么?k和T分别为波尔兹曼常数和热力学温度。解:一维势箱粒子的能级公式为量子化效应不明显。8.5有机共轭分子的共轭能、吸收光谱中吸收峰的位置等,可用一维势箱模型加以粗略描述。已知下列共轭四烯分子的长度约为1.120nm,试用一维势箱模型估计其波长最大吸收峰的位置。解:共轭四烯分子,其电子能级近似于一维势箱体系的能级。势箱长度a可以根据分子结构近似计算。从分子
4、结构可知,4个烯基贡献8个电子,在基态时这些电子占据4个分子轨道,当吸收适当波长的光时,可发生电子从最高占据轨道4到空轨道n(n>4)的跃迁,这一跃迁所吸收的光的波长为那么只有取n=5才能得到波长的最大值,即8.6在质量为m的单原子组成的晶体中,每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场中振动,式中。该模型称为三维各向同性谐振子模型,请给出其能级的表达式。解:该振子的Hamiltonian算符为即为三个独立谐振子Hamiltonian算符之和,根据量子力学基本定律,该振子的能即为个独立振子能级之和:式中为经典基频,所
5、以8.7一维势箱中两个自旋的电子,如果他们之间不存在相互作用,试写出它们基态波函数。解:由于这两个电子之间不存在相互作用,故它们的交换应该是反对称的,即波函数可以表示为:==8.8在忽略电子间相互作用的情况下,He原子运动的哈密顿算符可近似表示为式中m为电子的质量,和分别为电子1和电子2与核之间的距离。(1)在下述近似下,写出He原子的能量表达式并给出基态的能量值。(1)如果1s为的基态波函数(空间轨道),则He原子基态波函数表示为,这种说法正确吗?为什么?解:(1)上述哈密顿算符可以表示为所以能量可以表示为(2)原来
6、的波函数不对,因为它对于两个粒子交换不是反对称的。正确的波函数应当是=8.9在金属有机化合物的合成中常被用作保护气体,写出,和基态的电子组合,并以此解释的特殊稳定性。解:它们的电子组态为:2个键1个键,键级为32个键半个键,键级为2.52个半键半个键,键级为2.5因此无论得到或失去一个电子,其键级均减小0.5,生成较不稳定的态,所以有特殊的稳定性。
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