解线性方程组的直接法和迭代法.doc

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1、数值分析方法中方程求解的直接法和迭代法第3章解线性方程组的直接法一、消元法1.高斯消元法(加减消元)：首先将A化为上三角阵，再回代求解。步骤如下：第一步：第二步：类似的做下去，我们有：第k步：。n－1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：注意到，计算过程中处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0。所以，Gauss消元法的可行条件为：。就是要求A的所有顺序主子式均不为0，即因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解。另外，如果某个很小的话，会引入大的误差。1.列主元消元法在Gauss消元第k步之前，做如下的事情：若交换k行和j行其实就按行变换，不改变方程组的解，同时又

2、有效地克服了Gauss消元地缺陷。2.Gauss-Jordan消元法将在Gauss消元第k步，变为（遇上=0的则需要换一行）：将该行上、下三角地部分都变为0，即对角阵，同时主元系数也要消，这样就不用回代了。一、直接分解法Gauss消元法的第k步：从矩阵理论来看，相当于左乘矩阵：。因此，整个Gauss消元法相当于左乘了一个单位下三角阵。所以有，L为单位下三角阵，U为上三角阵。因此我们可以通过2次反代过程求解方程组，分解的理论由Gauss消元得出，因此分解能够进行的条件与Gauss消元一样。1.Doolittle分解L为下三角，U为单位上三角比较第1行：比较第1列：比较第2行：

3、比较第2列：比较第k行：比较第k列：分解过程完毕，加上两次反代过程：这里我们举个例子说明一下快速求解简单方程组的方法：然后通过，得x的解。1.Courant分解L为下三角，U为单位上三角比较第k列：比较第k行：两次反代过程：这里我们也举个例子说明上述快速求解简单方程组的方法：下面，我们对一下特殊的矩阵，提出一些特定的分解法2.三对角阵的追赶法所以，有计算过程如下：1.平方根法（对称正定阵的LDLT分解）若A对称正定，则有下三角整L，使得所以有：又则有比较等号两边后，有为了提高数值稳定性,可考虑列主元三角分解法,设已完成A=LU的k-1步分解计算,矩阵分解成设相当于取为第k步

4、分解的主元素.但要注意方程组的常数项也要相应变换.第4章解线性方程组的迭代法直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是数量级，存储量为量级，这在n比较小的时候还比较合适（n<400），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根。对方程组：做等价变换：如：令

5、，则则，我们可以构造序列若则，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关1.Jacobi迭代格式很简单：迭代矩阵记易知，Jacobi迭代有，是简单迭代的迭代矩阵。看上述公式和过程很抽象，我们来举个简单例子：（）得上述变换的方程后，我们任取一向量作初始近似，代入，假设上述方程的准确解是那么如果1.Gauss－Seidel迭代在Gauss－Seidel迭代中，使用最新计算出的分量值易知，Gauss－Seidel迭代有，是简单迭代的迭代矩阵。二种方法都存在收敛性问题。收敛条件迭代格式收敛的充要条件是的谱半径<1。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacob

6、i法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。若为严格对角占优的话则是收敛的，如假如方程组不满足收敛，有时候对其进行变换，可以改变收敛性。如求下述方程组的解：格式结果，也满足收敛。如Jacobi，的特征方程为解得，所以用Jacobi迭代法收敛。Gauss-Seidel，的特征方程为解得，,所以Gauss-Seidel迭代法是不收敛的。1.松弛迭代记则可以看作在前一步上加一个修正量。若在修正量前乘以一个因子，有对Gauss－Seidel迭代格式写成分量形式，有关于直接法和迭代法的例题：1用选主元三角分解法求解下列方程组列主这里再通过，得x的解

7、。2用Jacobi迭代法求解下列方程组，并且使精度为。以4，3，4分别除3方程两边即有Jacobi迭代式可证明此迭代格式是收敛的，极限值即为解。解得由此可知，用Jacobi迭代法是收敛的。取为初始值，迭代得，…其实即在内，，可以停止计算了。所以即为近似解。分析：此题题目可以直接说是解方程组，然后求解过程我们可以先验算Jacobi和Gauss－Seidel迭代的收敛情况，再选择算法，一般来说Gauss－Seidel迭代要比Jacobi迭代快。