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《线性方程组地直接法和迭代法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi迭代、Gauss—Seidel迭代、SOR迭代法等。1.线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。1.1Cramer法则Cramer法则用于判
2、断具有n个未知数的n个线性方程的方程组解的情况。当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。定理1如果方程组中，则有解，且解事唯一的，解为是D中第i列换成向量b所得的行列式。Cramer法则解n元方程组有两个前提条件：1、未知数的个数等于方程的个数。2、系数行列式不等于零例1a取何值时，线性方程组有唯一解。解：所以当时，方程组有唯一解。定理2当齐次线性方程组，时该方程组有唯一的零
3、解。定理3齐次线性方程组有非零解。1.1Gauss消元法Gauss消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。1.1.1用Gauss消元法为线性方程组求解eg：Gauss消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：这个算法的原理是：首先，要将以下的等式中的消除，然后再将以下的等式中的消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。在刚才的例子中，我们将和相加，
4、就可以将中的消除了。然后再将和相加，就可以将中的消除。方程组则变为：现在将和相加，就可将中的消除，方程组变为：这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是。然后直接带入，立即就可得出第二个答案：和最后一个答案。这样，我们利用高斯消元法解决了这个方程组。1.线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，
5、是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi迭代、Gauss—Seidel迭代、SOR迭代法等。1.1Jacobi迭代法对于线性方程组则，即将A分解为一个严格下三角矩阵、一个对角阵和一个严格上三角矩阵之和，从而可写出Jacobi迭代格式的矩阵表示形式为：，其迭代矩阵)称为雅可比迭代矩阵.将线性方程组变为一个通解方程组，对其进行迭代式改写，矩阵B为迭代矩阵由方程组（I）的第i个方程解出，得到一个同解方程组：构造相应的迭代公式取初始向量，利用（III）反复迭代可以得到一个向量
6、序列，利用此迭代格式求解方程组的解法称为Jacobi迭代法。用Jacobi迭代求解下列方程组输入A=[430;33-1;0-14]；b=[24;30;-24]；[x,k,index]=Jacobi(A,b,1e-5,100)输出：x=-2.999811.9987-3.0001k=100index=0所以解为：=-2.9998,=11.9987,=-3.00011.1Gauss-Seide迭代若L、U、D为上述的L、U、D。则Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示为：，现将显示化由得：，令，，则得：，此即为Gauss—Seidel迭代法的矩阵
7、表示形式，G称为迭代阵。由Jacobi迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第个分量时，用最新分量，代替旧分量，，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel迭代法。其迭代格式为(初始向量)，或者写为用Gauss-Seide迭代求解下列方程组输入A=[430;33-1;0-14]；b=[24;30;-24]；x0=[0;0;0]；[v,sN,vChain]=gaussSeidel(A,b,x0,0.00001,11)输出：v=0.616911.1962-4.2056sN=11vChain=6
8、.000010.0000-6.0000-1.50002.0000-3.50004.500010.3333-5.5000-1.75003.6667-3.41673.2
