终稿线性方程组直接法和迭代法

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1、毕业论文2012届线性方程组的直接法和迭代法学生姓名刘玲学号08102117院系数理信息学院专业信息与计算科学指导教师祝汉灿完成日期2012年5月25日II线性方程组的直接法和迭代法摘要在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题。这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来。因此，在科学技术、工程和经济领域中都会遇到解线性方程组的问题。求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。解线性方程组主要有直接法和迭代法。对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元。对于大规模线性方程组的求解问题，特

2、别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐。迭代法是求解线性方程组的一种有效方法，它有存储空间小，程序简单等特点。比较常用的迭代方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。（1）这两种迭代法的收敛性态并不相同，很多情况下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快.关键词线性方程组；直接法；迭代法；发散；收敛20THEDIRECTANDITERATIONMETHODOFLINEAREQUATIONSABSTRACTInscience,technology,engineeringandeconomicfields

3、,wewillmeettheproblemofsolvinglinearequations.Generallyspeaking,therearedirectmethodsanditerativemethodsforsolvinglinearequations.Forcoefficientmatrixandloworderdensematrixoflinearequations,wecanusedirectmethodfortheelimination.Forlarge-scalelinearequations,especiallylar

4、gesparselinearequations,adirectmethodismuchcomplicated.Inthissituation,theiterativemethodisthemoreeffectivemethodtosolvethelinearequations.ThemostcommonusedmethodsaretheJacobiiterationandGauss-Seideliteration.Inthispaper,wemainlystudytheconvergenceofthetwomethods.(13)KEY

5、WORDS:solvinglinearequations;loworderdensematrix;large-scalelinear;directmethod;iterativemethod20目录摘要IABSTRACTII目录III引言11.线性方程组的直接法21.1Cramer法则21.2Gauss消元法31.2.1用Gauss消元法为线性方程组求解32.线性方程组迭代法42.1Jacobi迭代法42.2Gauss-Seide迭代62.3SOR迭代82.4迭代法收敛92.5迭代法收敛的应用123.结论：14参考文献15附录16致谢2

6、020引言在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题，这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来，换句话说，求解线性方程组的过程就是就是解决实际遇到的自然及社会科学问题的过程，在线性方程组的求解的重要性可见一斑。求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。解线性方程组主要有直接法和迭代法。直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法．但实际计算中由于误差的存在和影响，这种方法也只能得到线性方程组的近似解，而且该方法也只是是求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。迭代法就是用某种极限过程去

7、逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解。在求解线性方程组直接法中主要有Cramer法则，Gauss消元法。Cramer法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。（2）它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。Gauss消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解

8、，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。该方法是以数学家卡尔高斯的名字命名的，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。在求解线性方程