高中数学选修2-2复数的几何意义.docx

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1、3.1.2　复数的几何意义[学习目标]　1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.知识点一　复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴

2、叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一

3、确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.思考　(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？(2)象限内的点与复数有何对应关系？答案　(1)不是.(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.知识点二　复数的模1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

4、z

5、或

6、a＋bi

7、.如果b＝0

8、，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于

9、a

10、(就是a的绝对值).由模的定义可知：

11、z

12、＝

13、a＋bi

14、＝r＝(r≥0，r∈R).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)

15、z1·z2

16、＝

17、z1

18、·

19、z2

20、，＝(

21、z2

22、≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)

23、z

24、＝

25、z1

26、n(n∈N*).(3)≤

27、z1＋z2

28、≤

29、z1

30、＋

31、z2

32、，等号成立的条件是：①当

33、z1＋z2

34、＝

35、z1

36、＋

37、z2

38、时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当

39、

40、z1

41、－

42、z2

43、

44、＝

45、z1＋z2

46、时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)

47、

48、z1

49、－

50、z2

51、

52、≤

53、z1－z2

54、≤

55、z1

56、

57、＋

58、z2

59、，等号成立的条件是：①当

60、z1－z2

61、＝

62、z1

63、＋

64、z2

65、时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当

66、

67、z1

68、－

69、z2

70、

71、＝

72、z1－z2

73、时，即z1，z2所对应的向量同向共线.思考　复数的模的几何意义是什么？答案　复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：①满足条件

74、z

75、＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，

76、z

77、＜r表示圆的内部，

78、z

79、＞r表示圆的外部；②满足条件

80、z－z0

81、＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，

82、z－z0

83、＜r表示圆的内部，

84、z－z0

85、＞r表示圆的外部.题型一　复数与复平面内的点

86、例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)由题意，∴2

87、复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.跟踪训练1　实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.题型二　复数的模的几何意义例2　设z∈C，在复平面内