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时间:2020-08-07
《高中数学选修2-2复数的几何意义.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.2 复数的几何意义[学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.知识点一 复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴
2、叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一
3、确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量,这是复数的另一种几何意义.思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?(2)象限内的点与复数有何对应关系?答案 (1)不是.(2)第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.知识点二 复数的模1.如图所示,向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作
4、z
5、或
6、a+bi
7、.如果b=0
8、,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于
9、a
10、(就是a的绝对值).由模的定义可知:
11、z
12、=
13、a+bi
14、=r=(r≥0,r∈R).2.复数的模的性质,设z1,z2是任意两个复数,则(1)
15、z1·z2
16、=
17、z1
18、·
19、z2
20、,=(
21、z2
22、≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)
23、z
24、=
25、z1
26、n(n∈N*).(3)≤
27、z1+z2
28、≤
29、z1
30、+
31、z2
32、,等号成立的条件是:①当
33、z1+z2
34、=
35、z1
36、+
37、z2
38、时,即z1,z2所对应的向量同向共线;②当
39、
40、z1
41、-
42、z2
43、
44、=
45、z1+z2
46、时,即z1,z2所对应的向量反向共线.(4)
47、
48、z1
49、-
50、z2
51、
52、≤
53、z1-z2
54、≤
55、z1
56、
57、+
58、z2
59、,等号成立的条件是:①当
60、z1-z2
61、=
62、z1
63、+
64、z2
65、时,即z1,z2所对应的向量反向共线;②当
66、
67、z1
68、-
69、z2
70、
71、=
72、z1-z2
73、时,即z1,z2所对应的向量同向共线.思考 复数的模的几何意义是什么?答案 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:①满足条件
74、z
75、=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,
76、z
77、<r表示圆的内部,
78、z
79、>r表示圆的外部;②满足条件
80、z-z0
81、=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,
82、z-z0
83、<r表示圆的内部,
84、z-z0
85、>r表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点
86、例1 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.(1)由题意得m2-2m-8=0.解得m=-2或m=4.(2)由题意,∴287、复平面内复数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在x轴上方;(2)对应的点在直线x+y+4=0上.解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得m=1或m=-,所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.题型二 复数的模的几何意义例2 设z∈C,在复平面内
87、复平面内复数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在x轴上方;(2)对应的点在直线x+y+4=0上.解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得m=1或m=-,所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.题型二 复数的模的几何意义例2 设z∈C,在复平面内
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