中学考试压轴题二次函数中地存在性问题之平移.docx

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1、二次函数中的存在性问题之平移【典例1】（2019•）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB=32．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值围．【点拨】（1）由函数解析式，可以求出点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（6，0

2、），在Rt△OAC中由tan∠CAB=32，可以求出点C的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；（2）①抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，把三角形三边长用点P，Q的坐标表达出来，整理得：n=12(m2-3m+4)，利用0≤m≤4，求出n的取值围；②由S△PCQ=12CQ⋅h=12PC⋅PQ，得：h=PC⋅PQCQ=2，求出点P到线段CQ距离为2；③设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：y=-34x+3+t，联立抛物线方程，可求出x2﹣7x+4t＝0，由△＝49﹣16t＝0，得t=4916，可得当线段CQ与

3、抛物线有两个交点时，3≤t＜4916．【解答】解：（1）根据题意得：A（﹣2，0），B（6，0），在Rt△AOC中，∵tan∠CAO=COAO=32，且OA＝2，得CO＝3，∴C（0，3），将C点坐标代入y＝a（x+2）（x﹣6）得：a=-14，抛物线解析式为：y=-14(x+2)(x-6)；整理得：y=-14x2+x+3故抛物线解析式为：得：y=-14x2+x+3；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），则PC2＝22+（m﹣3）2，PQ2＝m2+（n﹣2）2，CQ2＝32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由

4、勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，即22+（m﹣3）2+m2+（n﹣2）2＝32+n2，整理得：n=12(m2-3m+4)=12(m-32)2+78（0≤m≤4），∴当m=32时，n取得最小值为78；当m＝4时，n取得最大值为4，所以78≤n≤4；②由①知：当n取最大值4时，m＝4，∴P（2，4），Q（4，0），则PC=5，PQ=25，CQ＝5，设点P到线段CQ距离为h，由S△PCQ=12CQ⋅h=12PC⋅PQ得：h=PC⋅PQCQ=2，故点P到线段CQ距离为2；③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：y=-34x+3，设线段CQ向上平移t个单位长度后的

5、解析式为：y=-34x+3+t，当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点Q'的纵坐标为：-14(4+2)(4-6)=3，将Q'（4，3）代入y=-34x+3+t得：t＝3，当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，联解y=-14(x+2)(x-6)y=-34x+3+t得：-14(x+2)(x-6)=-34x+3+t，化简得：x2﹣7x+4t＝0，由△＝49﹣16t＝0，得t=4916，∴当线段CQ与抛物线有两个交点时，3≤t＜4916．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的

6、思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．【精练1】（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为6105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向

7、右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【点拨】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点