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时间:2020-04-09
《决胜2020中考数学压轴题全揭秘(下)专题16二次函数的存在性问题试题.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于,两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)点F是线段AD上一个动点.①如图1,设,当k为何值时,.②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.【答案】(1),D的坐标为;(2)①;②以A,F,O为顶点的三角形与相似,F点的坐标为或.【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点;(2)①由A、C、D三点的坐
2、标求出,,,可得为直角三角形,若,则点F为AD的中点,可求出k的值;②由条件可判断,则,若以A,F,O为顶点的三角形与相似,可分两种情况考虑:当或时,可分别求出点F的坐标.【详解】(1)抛物线过点,,,解得:,抛物线解析式为;,顶点D的坐标为;(2)①在中,,,,,,,,,,为直角三角形,且,,F为AD的中点,,;②在中,,在中,,,,,,若以A,F,O为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:当时,,,设直线BC的解析式为,,解得:,直线BC的解析式为,直线OF的解析式为,设直线AD的解析式为,,解得:,直线AD的解析式为,,解得:,.当时
3、,,,,直线OF的解析式为,,解得:,,综合以上可得F点的坐标为或.【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.【变式1-1】如图,抛物线经过,两点,且与轴交于点,抛物线与直线交于,两点.(1)求抛物线的解析式;(2)坐标轴上是否存在一点,使得是以为底边的等腰三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.(3)点在轴上且位于点的左侧,若以,,为顶点的三角形与相似,求点的坐标.【答案
4、】(1);(2)存在,或,理由见解析;(3)或.【解析】(1)将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式;(2)先求出E点坐标,然后作AE的垂直平分线,与x轴交于Q,与y轴交于Q',根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E,Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形,设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),根据距离公式建立方程求解即可;(3)根据A、E坐标,求出AE长度,然后推出∠BAE=∠ABC=45°,设,由相似得到或,建立方程求解即可.【详解】(1)将,代入得:,解得∴抛物线解析式为(2)存在,理由如下:联立和,,解得或∴E点坐标
5、为(4,-5),如图,作AE的垂直平分线,与x轴交于Q,与y轴交于Q',此时Q点与Q'点的坐标即为所求,设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),由QA=QE,Q'A=Q'E得:,解得,故Q点坐标为或(3)∵,∴,当时,解得或3∴B点坐标为(3,0),∴∴,,,由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1),而A点坐标为(-1,0)∴∠BAE=45°设则,∵和相似∴或,即或解得或,∴或.【点睛】本题考查二次函数的综合问题,是中考常见的压轴题型,熟练掌握待定系数法求函数解析式,等腰三角形的性质,以及相似三角形的性质是解题的关键.【变式1-2】如图,已
6、知抛物线(m>0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小,若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)点H的坐标为(1,);(3)当m=时,在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.【解析】分析:(1)把点(2
7、,2)代入中,解出m的值即可得到抛物线的解析式;(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标,由题意可知,点A、B关于抛物线的对称轴对称,这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标;(3)由解析式可得点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下图,由图可知∠ACB和∠ABM是钝角,因此存在两种可能性:①当△ACB∽△ABM,②△ACB∽△MBA,分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解:(1)把点(2,2)代入抛物线,得2=.解得m=4.∴抛物线的解析式
8、为.(2)令,解得.则A(-2,0),B(4,0).对称轴x=-.∵中当x=0时,y=2,∴点C的坐标为(0,2).∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称,∴连接BC与
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