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1、第八章 多元函数微积分1前面几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法和积分法.主要讨论二元的情况.2第一节空间解析几何基础知识3一、空间直角坐标系1、坐标系的建立在空间中取定一点O，定点横轴纵轴过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。称O为坐标原点，竖轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴，坐标轴确定的平面为坐标平面
2、，简称xy,yz,xz平面.称由两4一、空间直角坐标系1、坐标系的建立定点横轴纵轴竖轴空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.从x轴正向以角5Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ6空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点一个分量为零:点在坐标面上.两个分量为零:点在坐标轴上.72、简单的几何问题1º两点间的距离POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点,两点间的距离公式：8在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距
3、离的点.设该点为M(0,0,z),由题设
4、MA
5、=
6、MB
7、,即解得即所求点为例1解9M0MR根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2º球面方程10例2解即因此，球心为(1,-2,3)，半径为R=4.11F(x,y,z)=0Sxyzo定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.二、曲面及其方程12例3解根据题意有化简得所求方程13三、常见的空
8、间曲面1º平面平面的一般方程:其中A,B,C不全为零.例如：(0,1,0)14三、常见的空间曲面1º平面平面的一般方程:其中A,B,C不全为零.例如：oy(2,0,0)xz(0,2,0)(0,0,2)15定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.2º柱面播放16xyzo例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面
9、.ol17画出下列柱面的图形:抛物柱面平面18方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线类似:方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0,y=0.方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0,x=0.19例4指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程203º二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标
10、准形式.21zxyO用坐标面z=0,x=0和y=0去截割,分别得椭圆(1)椭球面22椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面球面方程可写为23(2)单叶双曲面xyoz(3)双叶双曲面xyo24(4)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.25(3)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.若方程为则图形如右图26xyzozxyo(5)椭圆抛物面27xyzo(5)椭圆抛物面特殊情况：--旋转抛物面.28(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzo29xzyo(6)双曲抛物面(马鞍面)30椭圆柱面还有三种以二次曲线为准线的柱面：抛物柱面双曲柱面31四、平面区域的概念及其解析表示平面上具有某种性
11、质P的点的集合,称为平面点集,例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为记作321.邻域332.区域不包含边界的区域称为开区域．例如，例如，区域是由一条或几条曲线(或直线)所围成的平面的一部分.包含边界的区域称为闭区域．34用不等式(组)表示区域:xyoab35用不等式(组)表示区域:xyocd36练习：P1384.(做在书上)5.37定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.38定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成
12、的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.39定义三、柱面观察
