集合概念与运算课件.ppt

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1、本章说明本章的主要内容集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、全集、幂集集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、广义并文氏图—有穷集计数问题集合恒等式本章与后续各章的关系是集合论后面各章的基础是典型的布尔代数系统集合的概念与运算1.集合的概念2.集合之间的关系3.集合的运算4.文氏图、容斥原理集合论(settheory)十九世纪数学最伟大成就之一集合论体系朴素(naive)集合论公理(axiomatic)集合论创始人康托(Cantor)GeorgFerdinandPhilipCantor1845~1918德国数学家,集合论创始人.什么是集合(set)集合

2、：不能精确定义。一些对象的整体就构成集合,这些对象称为元素(element)或成员(member)用大写英文字母A,B,C,…表示集合用小写英文字母a,b,c,…表示元素aA：表示a是A的元素，读作“a属于A”aA：表示a不是A的元素，读作“a不属于A”例如：方程x2－1＝0的实数解集合：26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；……集合的表示列举法描述法特征函数法列举法(roster)列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如A={a,b,c,d,…,x,y,z}B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}集合中的元素不规定顺序C={2,1,

3、3}={1,2,3}集合中的元素各不相同,如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。C={2,1,1,2,1,3}={1,2,3}描述法(definingpredicate)用谓词P(x)表示x具有性质P，用{x

4、P(x)}表示具有性质P的集合，例如P1(x):x是英文字母A={x

5、P1(x)}={x

6、x是英文字母}={a,b,c,d,…,x,y,z}P2(x):x是十进制数字B={x

7、P2(x)}={x

8、x是十进制数字}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}描述法（续）两种表示法可以互相转化，例如E={2,4,6,8,…}={x

9、x>0且x是偶数}={x

10、x=2

11、(k+1)，k为非负整数}={2(k+1)

12、k为非负整数}有些书在列举法中用:代替

13、,例如{2(k+1):k为非负整数}特征函数法(characteristicfunction)集合A的特征函数是A(x):1，若xAA(x)=0，若xA数的集合N：自然数(naturalnumbers)集合N={0,1,2,3,…}Z：整数(integers)集合Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}Q：有理数(rationalnumbers)集合R：实数(realnumbers)集合C：复数(complexnumbers)集合元素和集合之间的关系元素和集合之间的

14、关系是隶属关系,即属于或不属于,属于记作∈，不属于记作。例如:A＝{a,{b,c},d,{{d}}},a∈A，{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A,bA,{d}A。b和{d}是A的元素的元素。可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。说明隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。规定：对任何集合A都有AA。Aa{b,c}d{{d}}bc{d}d集合之间的关系子集、相等、真子集空集、全集幂集、n元集、有限集集族子集(subset)子集:若B中的元素也都是A中的元素,则称B为A的子集,或说B包含于A,或说A包含B,记作BABAx(xBxA)若B不是A

15、的子集,则记作BABAx(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)子集(举例)设A={a,b,c},B={a,b,c,d},C={a,b},则AB,CA,CBACBabcdefghij…………隶属和包含的说明隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如A＝{a，{a}}和{a}既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合。相等(equal)相等:互相包含的集合是相等的.A=BABB

16、AA=Bx(xAxB)A=BABBA(=定义)x(xAxB)x(xBxA)(定义)x((xAxB)(xBxA))(量词分配)x(xAxB)(等值式)包含()的性质AA证明:AAx(xAxA)1若AB,且AB,则BA证明:AB(A=B)(ABBA)(定义)(AB)(BA)(德•摩根律)AB(已知)(BA)(即BA)(析取三段论)#包含()的性质(续)若AB,且