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1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】1.必会知识教材回扣 填一填(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①C(α-β):cos(α-β)=______________________.②C(α+β):cos(α+β)=______________________.③S(α+β):sin(α+β)=______________________.④S(α-β):sin(α-β)=______________________.cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ⑤T(α+β):tan(
2、α+β)=____________(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z).⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠+kπ,k∈Z).(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①S2α:sin2α=____________.②C2α:cos2α=_____________=_________=_________.③T2α:tan2α=_______(α≠±+kπ,且α≠kπ+,k∈Z).2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2.必备结论教材提炼 记一记(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=(2)升幂公式:1+cos2α=2cos2
3、α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).3.必用技法核心总结 看一看(1)常用方法:整体代入法,配凑法.(2)数学思想:转化化归思想.(3)记忆口诀:余余正正符号异,正余余正符号同,二倍角,数余弦,找联系,抓特点,牢记忆,用不难.【小题快练】1.思考辨析静心思考 判一判(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立
4、.()(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.(2)正确.如取β=0,因为sin0=0,所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.(4)正确.当α=kπ(k∈Z)时,tan2α=2tanα.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√2.教材改编链接教材 练一练(1)(必修4人教AP130例4T(1)改编)sin108°cos42°-cos72°sin42°=.【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72
5、°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:(2)(必修4人教AP137A组T5改编)已知则cosα=______.【解析】因为答案：3.真题小试感悟考题 试一试(1)(2014·上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x,所以函数的最小正周期T=.答案:(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.【解析】因为f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ
6、+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ=sinx≤1.所以f(x)max=1.答案:1考点1化简与计算【典例1】(1)(2015·合肥模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)计算tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=.(3)的化简结果是.【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简.(2)观察式子的特点,逆用两角和的正切公式计算.(3)应用二倍角的正、余弦公式化简.【规范解答】(1)选D.cos(α+β)co
7、sβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)因为tan(25°+35°)=所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°)=-tan25°tan35°,所以tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=-tan25°tan35°+tan25°tan35°=.答案:(3)原式==2
8、cos4
9、+2
10、sin4-cos4
11、,因为所以cos4<0,且
