热力学统计题型统计问题详解.docx

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1、三维6.1试根据式（6.2.13）证明：在体积V，在到的能量围，三维自由粒子的量子态数为解:式（6.2.13）给出，在体积，在到到到的动量围，自由粒子可能的量子态数为（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V，动量大小在到围三维自由粒子可能的量子态数为（2）上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为因此将上式代入式（2），即得在体积V，在到的能量围，三维自由粒子的量子态数为（3）一维6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L，在到的能量围，量子态数为解:根据式（6.2.

2、14），一维自由粒子在空间体积元可能的量子态数为在长度L，动量大小在到围（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为（1）将能量动量关系代入，即得（2）极端6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为试求在体积V，在到的能量围三维粒子的量子态数.解:式（6.2.16）已给出在体积V，动量大小在到围三维自由粒子可能的状态数为（1）将极端相对论粒子的能量动量关系代入，可得在体积V，在到的能量围，极端相对论粒子的量子态数为（2）二维6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积，在到的能量围，量子态数为解:根据式（6.2.14），二维自由粒子在空间体积元的量子

3、态数为（1）用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量，与的关系为用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为在面积，动量大小在到围，动量方向在到围，二维自由粒子可能的状态数为（2）对积分，从0积分到，有可得在面积，动量大小在到围（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为（3）将能量动量关系代入，即有分三种情况来讨论：a)M-B;b)B-E;c)F-D分布。不考虑具体系统，则共有两种分布方式：；……………………5分a)对于遵从M-B分布的粒子，可分辨，每个量子态上容纳的粒子数不限：…………………………………………………………2分………………………………………………

4、…………2分b)对于遵从B-E分布的粒子，不可分辨，每个量子态上容纳的粒子数不限：…………………………………2分…………………………………2分c)对于遵从F-D分布的粒子，不可分辨，每个量子态上容纳的粒子数服从泡利原理，故D1不可能：………………………………………………………1分……………………………………1分一、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的性质玻耳兹曼系统：可分辨的全同近独立粒子组成的系统。处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。玻色系统：玻色子组成的系统。粒子不可分辨，每一个体量子态上的粒子数不受限制。费米系统：费米子组成的系统。粒子不可分辨，每

5、一个体量子态上最多只能容纳一个粒子。二、写出玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布，并说明这三种分布的关系，，，在经典极限条件下，玻色分布与费米分布都趋向于玻耳兹曼分布。三、光子气体的特点，并说明为什么平衡状态下光子气体的化学势为零光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子。这样光子气体的统计分布为因为，意味着，平衡状态下光子气体的化学势为零。四、能量均分定理处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于。

6、五、解释，为什么常温下原子的电子对气体热容量的贡献可忽略？原子电子激发态与基态能量大体是1－10eV，相应的特征温度为104－105K，能量差如此之大，在一般温度下，热运动难以使电子取得足够的能量而跃迁到激发态，因此电子冻结在基态，对热容量没有贡献。六、解释，常温围为什么双原子分子的振动对热容量的贡献可忽略？常温围，双原子分子的振动能级间距远大于。振子必须取得的能量才有可能跃迁到激发态。在常温下，振子取得的热运动能量而跃迁的概率是极小的，因此平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。当气体温度升高时，它们也几乎不吸收能量，因些对热容量的贡献可忽略。七、一级相变

7、、二级相变一级相变：相变点两相的化学势连续，但化学势的一级偏导数又突变；、二级相变：相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变。一、推导玻色－爱因斯坦凝聚的临界温度。据玻色分布，处在能级的粒子数为：　　　　由于粒子数不能取负值,这就要求所有能级均有。以表示粒子的最低能级，这个要求表示为：若取最低能级为能量的零点，即，则上式可表示为：　　　化学势μ由粒子数守恒公式确定为温度T及粒子数密度n的函数。注意和都与T无关，在n给定时，T越小则要求越小。如果将求和用积分代替，注意　　　　　　则　　化学势随温度的降低而升高，当温度降至某一

8、临界温度时，μ将趋于－0。这时趋于1。临界温度由下式给出：　　令，上式可表示因此