圆锥曲线的光学性质课件.ppt

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1、圓錐曲線的切線與光學性質割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關係1.切線與割線的意義：(1)當直線L與曲線交於P、Q兩相異點時，L就不再是割線，此時稱直線L為曲線的切線，P為切點。割線L繞P點旋轉，當Q點一旦與P點重合，(2)固定P點，當Q點在曲線上移動逼近P點時，此時稱L為的一條割線。本段結束2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當D<0時，圓錐曲線與直線L沒有交點。(2)當D=0時，圓錐曲線與直線L相切

2、於一點(L為切線)。(1)當D>0時，圓錐曲線與直線L相交於相異兩點(L為割線)。可得x的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯立方程組則：本段結束P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當直線與橢圓相交於一點時，(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。此直線必為切

3、線。TobecontinuedP與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(如下圖所示)(切線有重根判別式D=0)不一定為切線。切線交於一點。本段結束切線的性質：過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交

4、點，但它們都不是切線。本段結束圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜率利用公式圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點P(x0,y0)為切點的切線方程式為(見P.63-65)2.範例：求過點(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式

5、為5xy12=0。解：切點P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為Let’sdoanexercise!馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線

6、切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設切線L：y=mx+k，代入Bx2+Ay2AB=0，因為相切x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切判別式D

7、=0，即可求得k。本段結束拋物線已知斜率之切線即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。＃x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃6.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點。解：設所求y=3x+k，代入y

8、=x2+5x+3，相切判別式D=0得切線為y=3x+19。故切點為(4,7)。x28x+(k3)=0k=19。x=4。且x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點。Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。解：設所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切判別式D=0得切線為y=5x7。故切點為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0x=2。＃P