八年级数学下册-5.1-矩形(第2课时)例题选讲课件-(新版)浙教版.ppt

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1、第5章特殊平行四边形5.1矩形（第2课时）矩形的判定例1如图，已知ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形.分析：要证四边形EFGH为矩形，而四边形EFGH的四个内角的构造方式相同，只要能证明其中一个是直角，就可以同理证得其余各角也为直角.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AG，BG分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA=90°，∴∠G=90°，同理∠GHE=90°，∠E=90°，∴四边形EFGH为矩形.注意点：矩形判定有多种方法，要结合具体条件选择最简单的证明，

2、比如本题若用定义来证，要证两步，不如直接用判定定理更简单.变式：已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC.（1）求证：CD=AN；（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形.答案：证明：（1）∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA.在△AMD和△CMN中，∵∠DAC=∠NCA，MA=MC，∠AMD=∠CMN（对顶角相等），∴△AMD≌△CMN（ASA）.∴AD=CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD=AN；（2）∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC.

3、∴MD=MC.∵四边形ADCN是平行四边形.∴AC=2MC，DN=2MD.∴AC=DN，∴四边形ADCN是矩形.矩形的动点问题例2如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.分析：（1）可证它们都与OC相等；（2）由于易证∠ECF=90°，故要使四边形AECF是矩形，只需证它是平行四边形即可，而EO=FO，故只需AO=OC即可.证明：（1）∵CE平分∠BCA，∴∠ACE=∠BCE.又

4、∵MN∥BC，∴∠BCE=∠OEC，∴∠ACE=∠OEC，∴EO=CO.同理，FO=CO.∴EO=FO；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.证明：∵EO=FO，点O是AC的中点，∴四边形AECF是平行四边形.又∵∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠GCF.∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，即∠ECF=90°.∴四边形AECF是矩形.注意点：点在运动的过程中，△OCE，△OCF始终是等腰三角形，△CEF始终是直角三角形，CO=EO=FO始终成立，这些变化过程中不变的结论是解题的关键.矩形判定的应用例3木工师傅接受了制作一个窗框的任务，要

5、求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检验一下是否是矩形，若你是小明，你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出你的检验方法.解：方法一：量其中三个角看是不是直角；方法二：量两组对边，看是否分别相等，并且有一个角是否是直角；方法三：量两组对边，看是否分别相等，再量两条角线是否相等.分析：要检验一个四边形是否是矩形，就是按矩形的判定方法进行判定.注意点：实际问题要建模为数学问题，再来解决数学问题.例1如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A.AB∥DCB.AB=DCC.AC⊥BDD.A

6、C=BD正答：C错答：D错因：由于审题不严，以为对角线相等的四边形是矩形，从而选D，导致错解.事实上，要判断的是四边形EFGH，而不是四边形ABCD.此外，对角线相等的四边形也不一定就是矩形.连结BD，由中位线的知识可知，顺次连结四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH一定是平行四边形.要使它为矩形，则只要有一个角为直角即可.由平行线的性质，只要原来的对角线互相垂直即可.例2如图，M、N分别是ABCD的边AD，BC的中点，且AD=2AB，BM与AN交于点P，CM与DN交于点Q.求证：PMQN为矩形.错答：连结MN.∵在△ABM与△CDN中，AM=AD=B

7、C=CN，∠MAB=∠NCD，AB=CD，∴△ABM≌△CDN.∴∠AMB=∠CND.又∵AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM.∴∠PMN=∠QNM.PM∥QN.同理，PN∥MQ.∴四边形PMQN为平行四边形.又∵M是边AD的中点，∴∠PMQ=90°.∴四边形PMQN是矩形.正答：连结MN.∵在△ABM与△CDN中，AM=AD=BC=CN，∠MAB=∠NCD，AB=CD，∴△ABM≌△CDN.∴∠AMB=∠CND.又∵AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM.∴∠PMN=∠QNM.∴PM∥QN.同理，PN∥MQ.∴四边形PMQN为平行四边形.又∵AM=BN且AM∥BN

8、，∴四边形ABNM为平行四边形.∴PM=PB，又∵AD=2AM，A