数学下册(第2课时)例题选讲课件(新版)浙教版

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1、第5章特殊平行四边形5.2菱形（第2课时）菱形的判定例1（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.BA=BCB.AC，BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD（2）如图2，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E.求证：四边形CDC′E是菱形.分析：（1）根据“对角线互相垂直平分的四边形为菱形”及已知对角线AC，BD互相垂直，则需添加条件应为对角线互相平分；（2）由折叠可知△CDE≌△C′DE，再由全

2、等三角形的性质及平行线的性质可进一步说明四边形CDC′E的四条边相等，从而得出四边形CDC′E是菱形.解：（1）B（2）根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D，∠CDE=∠C′DE，CE=C′E.∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠CED.∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，∴CD=C′D=C′E=CE，∴四边形CDC′E为菱形.注意点：在判定一个四边形是菱形时，思路一是先证明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等或者说明对角线垂直；思路二是证明四条边相等或对角线互相垂直平分.例2如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别

3、是AD，BC，BD，AC的中点.求证：MN与PQ互相垂直平分.菱形判定的综合运用分析：要直接证明MN与PQ互相垂直平分比较困难，联想到菱形的对角线互相垂直平分的性质，所以只要连结MP，PN，NQ，QM，再进一步证明四边形MPNQ是菱形即可.证明：如图，连结MP，PN，NQ，QM.∵M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，∴MP∥AB，QN∥AB，PN∥CD，MQ∥CD，MP=AB，MQ=CD.∴MP∥QN，PN∥MQ.∴四边形MPNQ是平行四边形，∵AB=CD，∴MP=MQ，∴四边形MPNQ是菱形，∴MN与PQ互相垂直平分.注意点：

4、本题主要应用了三角形中位线性质，也可证明四边形PNQM的一组对边平行且相等，还可以直接根据中位线的性质证明四边形PNQM的四条边都相等.折出来的菱形例3动手操作：在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形，小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小芳同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）.（1）你能说出小颖、小芳所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小芳同学的折法中，哪种菱形面积较大？分析：（1）从菱形的判定方法入手思考；（2）计算各方案

5、的面积时，方案一：矩形的面积减去4个直角三角形的面积；方案二：先求出边长BE，利用勾股定理列式求解.解：（1）小颖的理由：依次连结矩形各边的中点所得到的四边形是菱形.小芳的理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB.又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，∴AE=EC=CF=FA，∴四边形AECF是菱形.（2）方案一：S菱形=S矩形ABCD-4S△AEH=12×5-4××6×=30(cm2)；方案二：设BE=x，则CE=12-x，∴AE=.由四边形AECF是菱形，则AE2=C

6、E2，∴x2+25=(12-x)2，∴x=，S菱形AECF=S矩形ABCD-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21(cm2)，比较可知，小芳同学所折的菱形的面积较大.注意点：操作性问题，要充分揭示其操作的条件来求解.例1两条对角线互相垂直的四边形是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.不能确定正答：D错因：由于受思维定势的影响，以为菱形的两条对角线互相垂直，所以，两条对角线互相垂直的四边形就是菱形.事实上，两条对角线互相垂直的图形不一定就是菱形.如图虽然四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，但它就不是菱形，而是一个一般的四边形，只有当

7、两条对角线互相垂直且互相平分时，四边形才是菱形.错答：B例2两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图所示放置，且AB=BF.求证：四边形BNDM为菱形.错答：∵四边形ABCD、BFDE是两个完全相同的矩形，∴AB=BF=ED，∠A=∠E=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM.∵四边形BNDM有一组邻边相等，∴四边形BNDM是菱形.正答：四边形ABCD、BFDE是矩形，∴BM∥DN，DM∥BN，∴四边形BNDM是平行四边形.又∵AB=BF=ED，∠A=∠E=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=

8、DM，∴四边形BNDM是菱形.错因：误以为有一组邻边相等的四边形就是菱形.根据菱形的判定方法，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形.因此还须证明四边形BNDM是一个平