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1、源于经典而高于经典的初二几何难题解答DECBAFG1、经典题：已知正方形ABCD和正方形AEFG，B、A、G在一条直线上，求证BE与DG垂直且相等。HDECBAFG证明延长BE交DG于H，AB=AD,AE=AG,Rt△ABE≌Rt△ADG,BE=DG.∠ABE=∠ADG,∠ABE+∠AEB=900，∠AEB=∠DEH,∴∠DEH+∠EDH=900，∴BE⊥DG.即BE与DG垂直且相等.2、已知正方形ABCD和正方形AEFG，P为BG的中点，M、N分别BD、EG的中点。（1）如图1，当B、A、G在一条直线
2、上时，试探究△PMN的形状，并证明.P图2ADMENCBFG（2）当正方形AEFG绕点A任意旋转到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立?N图1DMECPBAFG解：(1)如图1连接BE、DG，延长BE交DG于H，易证△ABE≌△ADG,BE=DG.∠ABE=∠ADG,∠ABE+∠AEB=900，∠AEB=∠DEH,∴∠DEH+∠EDH=900，∴BE⊥DG.即BE与DG垂直且相等.图1HDMECPBAFGN又PM是△BDG的中位线，PN是△BGE的中位线，∴PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE
3、的一半.∴PM与PN垂直且相等。∴△PMN是等腰直角三角形。（2）如图2，仿（1）的方法，易证BE与DG垂直且相等。PM是△BDG的中位线，PN是△BGE的中位线，∴PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半.∴PM与PN垂直且相等。∴△PMN是等腰直角三角形。说明：本题的第（2）小题也可看成以△ABG边AB、AG向外作正方形ABCD和P图2ADMENCBFG正方形AEFG。可得以上结论。3、分别以任意四边形ABCD的各边向外作正方形ABEF、AGHD、DIJC、CKLB。M、N、P、Q分别是各
4、正方形的中心。（1）求证MP与NQ垂直且相等；（2）R、S、T、W分别是NM、MQ、QP、PN的中点。求证四边形RSTW是正方形。解：连接AC取AC的中点X，连接XN，XP。由前面题目易证XN与XP垂直且相等。同理XM与XQ也垂直且相等。因此，MP与NQ垂直且相等。LNXOKIGQTSRPMJHEFDCABW（2）RS平行且等于NQ的一半，TW平行且等于NQ的一半，ST平行且等于MP的一半，MP与NQ垂直且相等，所以，四边形RSTW是正方形。4、以平行四边形ABCD的各边向外作正方形，E、F、G、H分别
5、是各个正方形的中心。1FHDCBAGEO求证四边形EFGH是正方形。证法1：连接AC、BD交于O，O是AC，BD的中点，连接OE，OF，OG，OH。由前面题的结论知，OE与OF垂直且相等，OF与OG垂直且相等，OG与OH垂直且相等，OH与OE垂直且相等。且E、O、F共线，F、O、H共线。∴EG与FH垂直平分且相等，∴四边形EFGH是正方形。证法2：FB=FC,EB=CG,∠1=1800-∠ABC,∠BCD=1800-∠ABC,∴∠1=∠BCD.∴∠EBF=∠GCF,∴△FBE≌△FCG.∴EF=FG.∠
6、EFB=∠GFC,∠GFC+∠BFG=900,∠EFB+∠BFG=900,∴EF⊥FG.∴EF与FG垂直且相等。同理：其它相邻两边也垂直且相等。∴四边形EFGH是正方形。5、已知，正方形ABCD和正方形CGEF，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到如图所示的位置，取AE得中点P。试探究PD与PF的关系且证明。CPDBAFEG解：连接AC，CE，作DM⊥AC于M，FN⊥CE于N，MCPDBAFEGNH连接MP，PN。则PN是△ACE的中位线，∴四边形MCNP是平行四边形，MD=MC=PN.MP=CN=NF,
7、∠DMP=900-∠PMC=900-∠PNC=∠PNF.∴△MPD≌△NFP.∴PD=PF.延长MP交FN于H，∠PFH+∠FPH=900,∠MPD=∠PFN,∴∠MPD+∠FPH=900,∴PD⊥PF.∴PD与PF垂直且相等。顺便指出：若连接PB、PG，仿以上方法，也可证明PB与PG垂直且相等（证明从略）。DECPBAFG6、分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACGF，P为DG的中点。试判断△PBC的形状，并证明你的结论。NMDECPBAFGH解：分别作AD、AG中点M、N，连接
8、MB，NC，PM，PN。则PM，PN是△ADG的中位线。四边形AMPN是平行四边形。则BM=MA=PN，PM=AN=NC，由∠AMP=∠ANP，得∠BMP=900-∠AMP，∠PNC=900-∠ANP，∴∠BMP=∠PNC，∴△BMP≌△PNC,∴PB=PC.延长NP交MB于点H，则NH⊥MB.∠HBP+∠HPB=900,∵∠HBP=∠CPN，∴∠HPB+∠CPN=900.∴PB⊥PC.即△PBC是等腰直角三角形。7、△ADE和△ABC都是
