容器设计问题的数学模型.doc

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1、容器设计问题的数学模型【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件ma

2、tlab7.0进行处理求解。1、问题重述（1）要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r

3、似值。（3）要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为R

4、径、第三问中下面圆台的下半径h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度H-第二问中圆柱的高度、第三问中上面圆台的高度L-第三问中上面圆台的上半径v-容器体积s-容器表面积y-所构造函数k-所构造函数中的常系数pi-圆周率d-求偏导数^-次方sqrt-根号4.模型建立及求解与检验建立：可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。（1）在第一小题中，由几何知识容易得出：容器的表面积,即目标函数为：容器的容积：由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：（2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。第二题的表面积，即

5、目标函数为：约束条件（容器容积）:v=由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：第三题的表面积，即目标函数为：约束条件（容器容积）：由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数（3）y就是第一、二、三小题的数学模型。求解与检验：约束条件与偏微分方程联立求解（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：y分别对R,r,h,求偏导数dRdrdh,令dR=0,dr=0,dh=0，得出三条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R=-2/7*7^(3/4

6、)/kr=-2/kh=-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k解得：r/R=1.h/R=1.（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：y分别对R,r,h,H求偏导数dRdrdhdH,令dR=0,dr=0,dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：共10组解。舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求R=-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2*(

7、-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/kr=-2/kh=4*(-5/3+1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/kH=2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)/

8、k解得r/R=2.h/R=1.H/R=1.（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：用y分别对R,r,h,H，L求偏导数dRdrdhdHdL,令dR=0,dr=0,dh=