电容器的数学模型

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1、高压平板电容器的数学模型邕贤进,曾怡达,张斌摘耍：通过建立平板电容器的电场模型，论证了高压平板电容器的极板加工不仅仅是一个简单的工艺问题，更是一个严肃的理论问题⑹。刨光不严的高压电容器极板极易导致高压平板电容器的击穿⑺。关键词：电容器；数学模型；电场中图分类号：TM151.3；TM531.2文献标识码：B0引言对于高压平板电容器而言，我们知道在生产的过程中，如果对其极板的加工精度不够,则会导致极板的光洁度达不到规定的要求，而这会直接导致高压电容器很容易被击穿比。下面我将从数学模型的角度对此给出较充分的解释。1无限大的两对带电平行板

2、之间的电场方程1.1建立电场的数学方程无限人的两对带电平行板之间的静电场近似为匀强电场⑴,电场强度E。是竖直的。水平架设的输电线处在这个牌电场中（图1）。输电线可以看作是甚长圆柱。由于柱面上的静电感应电荷，圆柱邻近的静电场不再是匀强的。现在研究林外的静电场。取圆柱的轴为z轴。既然圆柱其长，电场强度E以及电势u均与z无关，所以只需在xy平血上进行研究。根据问题的对称性，直角坐标x与y不太合适。我将尝试使用平面极坐标P与如极轴指向少E。相同（图1）。圆柱面在此平面上的剖口是P=a（a是圆柱的半径），我研究的是此圆以外（P0a）的静电场

3、。圆外没有电荷，静电势u满足拉普拉斯方程。按照拉普拉斯方程的极坐标公式⑵，我们得出p—+pdp[dp)pf©(M)(1)图1无限大带电平行板之间的电场静电场中导体的各处电势相同。而电势只具冇相对的慈义，故不妨把関柱导体的电势取作零。这是一个齐次的边界条件U

4、p=a=O（2）此外还有一个非齐次的边界条件：取X轴平行于Eo,在“无限远”处有Ex=Eo,Ey二0,E?=0,即-du/dx二Eo,-du/dy二0,-du/dz二0,从而u~-EoX二-Eopcos©（记号"u~”表示"大数值u的主要部分”）,即u

5、卩-8〜一Eopcos©

6、1.2求解定解问题⑴-（3）以分离变数形式的试探解E2]u（p,0）=R（p）O（（

7、））代入方程（1）,得dp丿上式左边是p的函数，与e无关；右边是e的函数，与卩无关。两边不可能相等，除非两边实际上是同一个常数。把这常数记作入，—①，=2=—p—p—0Rdpdp）这就分解为两个常微分方程e"+入①=op'R"+pRz-XR=0常微分方程(4)隐含着一个附加条件。事实上，一个确定地点的极角可以加减2n的整倍数，而电势U在确定的地点应具确定数值，所以u(P,0+2n)=p(p,0),即R(p)①((

8、)+2ri)=R(p)①3),

9、亦即①(<

10、)+2口)二e(e)(6)这叫做自然的周期条件。常微分方程(4)与条件(6)构成木征值问题。不难求得木征值入二nF,(皿二0,1,2,…)(7)本征函数((

11、))=Acosm0+Bsinm0(8)以本征值(7)代入常微分方程(5),这是欧勒型常微分方程。P2d2Rdp，+呀一,*0不难得出具解为rJCpJDpTgo)C+DInp[m=0)这样，分离变数形式的解是um(p,0)=(An.cosm^+BmSinm(

12、))(Cmpm+Dnpm),u(>(p,(

13、))=Co+Dolnp.—•般解u(p,0)应是这些本征解的叠加

14、，即8认P，0)=Co+DoInp+》(Amcosm(j)+Btnsin加0比”0"+}(10)w=l为确定(10)中的系数，把(10)代入边界条件。先代入齐次边界条件(2),得Co+D()InG+£(&”cosm(f)+Bmsin加0)(C,0"+Dmam)=0W=1一个傅立叶级数等于零，意味着所侑傅立叶系数为零，Cq+DoIna=0,Cn1a，^DmaM=0由此，Co二一DoIna,Dn=-CBa2m于是，(10)简化为认%11(%)+£仏cos加0+3界讪0)(//"-a2mp~m(H)要注意,系数Cm已并入九和Bm之中。

15、下面，再讨论非齐次边界条件(3)。这里着重u的主要部分。对于大的P,(11)的ln(P/a)项和1/P”项远远小于》项，故不必考虑。因此，以(11)代入(3)的结果是©Opmcosm(p+Bmsin〜一Eopcos(j).(12)〃】=i既然主要部分是P项，可见在(12)中不应出现Pm(ni(

16、)l)的项(否则Pm项就成了主要部分)。这是说AIU=0,Bm=0.(叫1)就p'项而论,从(12)知Al-Eu,BlO.故最后得出的答案是2饥(/?,0)=£)0In—+—cos(/).(13)aP这个答案的当中一项，即-禺皿。旳正是原來

17、的匀强静电场中的电势分布⑸。最后一项，即Eo(a7p)cos(

18、)对于大的P可以忽略，所以它代表在圆柱的邻近对匀强电场的修正，这口然是柱面的静电感应电荷的影响。此外，还有Doln(P/a)项，系数D°任意，解不是唯一的。从物理上说，定解问题(1)-