高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修4-5.ppt

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1、第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔______a0,>1⇒a>bb<0,>1⇒a0a-b<0a-b=0具有多项式2.综合法和分析法(1)综合法一般地，从_________出发，利用_____、公理、_____、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫____

2、_____或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法证明命题时，从___________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为_________或___________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.要证的结论已知条件一个明显成立的事实充分条件3.反证法(1)假设要证的命题_______，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和___________(或已证明的定理、性质、明显成立的

3、事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明___________，我们把它称为反证法.(2)证明步骤：反设→归谬→肯定原结论.不成立命题的条件原命题成立4.放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.(2)理论依据a＞b,b＞c⇒a___c.放大缩小＞5.数学归纳法(1)数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当____时命题成立；②假设当__________________时命题成立，证明___

4、___时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=n0n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+1(2)数学归纳法的基本过程判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若则x+2y>x-y.()(2)已知a>b>-1,则()(3)设(b>a>0)，则s≥t.()(4)证明可用比较法证明.()(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.()【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2yb>-1,∴a+1>b+1>0,(3)错误.∵b>a>0,∴a-b<0,

5、a(a+1)>0,(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好用分析法.(5)错误.数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1，如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第1个值n0=3.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×考向1比较法证明不等式【典例1】(1)设c>b>a,证明：a2b+b2c+c2a

6、a2b+b2c+c2a)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2)=(c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c)=(b-a)(c-b)［c+b-(b+a)］=(b-a)(c-b)(c-a).∵c>b>a,∴b-a>0,c-b>0,c-a>0,∴ab2+bc2+ca2>a2b+b2c+c2a,即a2b+b2c+c2a

7、(0，+∞)时，aabb≥成立.【互动探究】在本例(2)的条件下，证明【证明】当a=b时，当a＞b＞0时，当b＞a＞0时，【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒】当不等式的两边为对数式时，

8、可用作商比较法证明，另外